数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx不会做的半桶水的别回答别碍事!答案是2π/32sint是奇函数，但是e^(2sint)不是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:14:24
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx不会做的半桶水的别回答别碍事!答案是2π/32sint是奇函数，但是e^(2sint)不是
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx
不会做的半桶水的别回答别碍事!
答案是2π/3
2sint是奇函数，但是e^(2sint)不是
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx不会做的半桶水的别回答别碍事!答案是2π/32sint是奇函数，但是e^(2sint)不是
被积函数是偶函数,把区间放大到 [-pi,pi] 后积分也变成原来的2倍
注意到
e^(2cosx)cos(2sinx) = Re[e^(2e^{ix})]
所以只需计算出 I = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可
(可以理解为对 I 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0)
再注意到
e^(2e^{ix})cos(3x)＝[e^(2e^{ix}+3ix)+e^(2e^{ix}-3ix)]/2
问题进一步转化为计算
I_1 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}+3ix) dx
I_2 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}-3ix) dx
对于 I_1,做代换 z = e^{ix} 得到一个整函数的围道积分,所以 I_1 = 0
对于 I_2,同样做代换 z = e^{ix} 得到
I_2 = -i \int_C e^{2z}/z^4 dz
其中 C 是单位圆周
利用 Cauchy 高阶导数公式,e^{2z} 在 z=0 处的 3 阶导数是 3I_2/pi,所以 I_2 = 8pi/3
代回去得到答案是 2pi/3
碰到复杂的三角函数积分可以尝试换元， 然后利用函数奇偶性求解.
碰到复杂的三角函数积分可以尝试换元， 然后利用函数奇偶性求解