正整数N恰有12个正整数（包括1和N）将它们按递增顺序编号d1＜d2…＜d12.已知下标为d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8,试求正整数N一定要有过程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 04:53:58
正整数N恰有12个正整数（包括1和N）将它们按递增顺序编号d1＜d2…＜d12.已知下标为d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8,试求正整数N一定要有过程
正整数N恰有12个正整数（包括1和N）将它们按递增顺序编号d1＜d2…＜d12.已知下标为d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8,试求正整数N
一定要有过程
正整数N恰有12个正整数（包括1和N）将它们按递增顺序编号d1＜d2…＜d12.已知下标为d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8,试求正整数N一定要有过程
设m=d4-1,则dm=d8*(d1+d2+d4)>d8
所以12=>m>=9
有13>=d4>=10.
又N恰有12个正约数,则N的大于1的互不相同的素因子不可能超过3个.
如果有多余3个不同的素因子,则至少有2*2*2*2=16个不同的正约数.
因此素因子不可能超过3个,通过枚举,知N可能的标准分解有以下三种情况(这里并没有对q1,q2,q3做大小排序)：
1.3个不同的素因子,则N=q1^2*q2*q3
2.2个不同的素因子,则N=q1^5*q2
3.1个素因子,N=q^12.
考虑情况3.设该素因子为p,有：d4=p^3,m=p^3-1.
dm=(1+p+p^3)*p^7.
因m>=9
则p^8|dm
有p|(1+p+p^3).不可能!
考虑情况2.令p1
若d4=11,或13
则必有：p2=11或13.
此时p1=3
dm=15*d8或dm=17*d8
这两种情况都出现了新的素因子,因此d4不为11,13.
若d4=10,则p1=2,p2=5.d9=13*d8.矛盾.
若d4=12,则p1=2,p2=3.d11=15*d8,5|N矛盾.
所以情况2不可能.
考虑情况1.令2<=p1
当p2=5,则p3>=11,此时d9=13*d8,所以p3=13,p1^2不可能整除N,所以若p2^2|N,则d8=50,d9=65,不可能,若p3^2|N,则：d8=130,d9=13^2,矛盾.
d4=12时,有p1=2,p2=3,此时d4=4,矛盾.
故d4=11或13.
当d4=13时,p3=13,m=12,
N=d12=(1+d1+13)*d8.=(14+p1)*d8.
d4|N,所以13|d8或13|14+p1显然后者不成立.13|d8.
若13^2|N,则p1*p2=14+p1,13^2=d8因此p1=2或7.
当p1=2时,p2=8,这与p2是素数矛盾,
当p1=7时,p2=3,矛盾.
若p1^2|d8,则p2=14+p1不可能.
若p1^2*p2=14+p1,则d8=13也不可能.
若p1^2=14+p1,则p2*13=d8.
此时p1无解.
若p1*13=d8,p2*p1=14+p1,不可能.
若p2^2|d8,则p1=14+p1,不可能.
若p2^2*p1=14+p1,则d8=13,不可能.
若p2^2=14+p1,则d8=p1*13.
则小于d8大于d4的正约数只能是由p1,p2组成,因此必有p2^<13
所以p2=3,此时p1=14-p2^2=5矛盾
若p2*13=d8,则p1*p2=14+p1,不可能.
因此d4!=13.
当d4=11时：有d10=(1+p1+11)*d8=(12+p1)*d8.p3=11
d10可能为q1*q2*q3,或q1^2*q2：
若为前者,则12 +p1必定为q1*q2,此时d8=q3但q3<=d3.故d10必为后者
并且d10*d3=N,d3=p2.
因此d10=p1^2*p3或p1*p3^2.
若为后者,则d8=11^2,此时12+p1=p1矛盾.
若为前者,则必有p1^2|12+p1,11|d8矛盾.
通过上面的枚举,问题没有解啊?难道我算错了?
正整数N恰有12个正整数?