矩阵,多项式的关系已知A^2=A,则A^2-A=0.为什么可以得到：那么A的最小多多项式能整除x^2-x,于是A的最小多项式没有重根为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 11:19:46

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矩阵,多项式的关系
已知A^2=A,则A^2-A=0.
为什么可以得到：
那么A的最小多多项式能整除x^2-x,于是A的最小多项式没有重根
为什么?

矩阵,多项式的关系已知A^2=A,则A^2-A=0.为什么可以得到：那么A的最小多多项式能整除x^2-x,于是A的最小多项式没有重根为什么?
很简单.
因为取f(x)=x^2-x
有f(A)=0
要么f(x)是最小多项式,那么他没有重根.
要么是1次的,x-a(最小多项式首项系数为1）
那么A-aE=0,带入计算易得a=0或1,故能整除.
（其实只要f(A)=0,那么最小多项式就可以整除f(x),你可以用带余除法,很容易证明到,如果不是余的次更低）
1次多项式显然无重根

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