关于微积分在物理的运用两根平行的水平导轨上放置一根r=0.5Ω的导体棒,导体棒的质量m=0.1kg,与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5,导轨两端接R=1.5Ω的电阻,不及一切其他电阻.现用F=0.7N的恒力拉动导

关于微积分在物理的运用两根平行的水平导轨上放置一根r=0.5Ω的导体棒,导体棒的质量m=0.1kg,与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5,导轨两端接R=1.5Ω的电阻,不及一切其他电阻.现用F=0.7N的恒力拉动导
关于微积分在物理的运用
两根平行的水平导轨上放置一根r=0.5Ω的导体棒,导体棒的质量m=0.1kg,与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5,导轨两端接R=1.5Ω的电阻,不及一切其他电阻.现用F=0.7N的恒力拉动导体棒,B=2T的磁场垂直电路面,求导体棒静止到匀速的用时,以及位移
棒长0.5m

关于微积分在物理的运用两根平行的水平导轨上放置一根r=0.5Ω的导体棒,导体棒的质量m=0.1kg,与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5,导轨两端接R=1.5Ω的电阻,不及一切其他电阻.现用F=0.7N的恒力拉动导
此题属于高中物理,但是,题目的问题却超纲了,此题应该给出运动时间,不应该求达到匀速的时间,更不能求位移,因为时间是无穷大,位移也无穷大.
一般高中用微积分的方法求解,浅浅的双色石已经帮你提供一个很好的思路,他用了平均电流的方法解决了,不过用“平均”的方法求,一定是一次函数才可以（F=BIL,F和I是一次函数,所以可以,至于为什么你不用管,要证明这个,也要用微积分证明,电荷Q=It也可以用平均电流,冲量I=Ft,也可以用平均力,因为都是一次函数,但是有效值是不能用“平均”求解的,因为有效值Q=I²Rt,Q和I不是一次函数）,此外,你这道题还要求求时间,我怀疑你弄错了,时间是求不出来的（因为这个运动不可能匀速运动,除非时间无限大,由于此题不可能达到匀速运动,所以如果求匀速运动）.
不知道你为什么会提到用微积分,要用微积分,解微分方程是很麻烦的,你这个题的微分方程,虽然解出来不难,不过高中尽量不要考虑用微积分,下面我列微分方程解.同时,我也证明开始我说的结论,我说达到匀速的时间是无穷大,达到匀速的位移也是无穷大,如果你看不懂就算了,不过我还是把解法写下来.
设在t时刻,导体的速度是v,那么有安培力F(安)=B²L²v/r,根据牛顿第二定律,可得
F-μmg-B²L²v/(R+r)=m·dv/dt,这是一阶线性微分方程,有通解公式,下面我用分离变量方法求解,为了方便计算,设p=(F-μmg)/m,q=-B²L²/m(R+r),那么微分方程可化为
dv/dt=p+qv,分离变量,得dv/(p+qv)=t/q,积分,ln(p+qv)=t/q+C（C为任意常数,因为dv/dt>0,所以p+qv>0,所以绝对值直接去掉）,初始条件,t=0时,有v=0,代入ln(p+qv)=t/q+C,可求得C=lnp,所以有t/q=ln(p+qv)-lnp=ln(1+qv/p),两边分别以e为底数取指数,得
1+qv/p=e^(t/q),所以v=-(p/q)·[1-e^(t/q)],
把p和q代回来,得v=[(F-μmg)(R+r)/B²L²]·{1-e^[-m(R+r)t/B²L²]},这个就是v和t的函数关系式,
从关系式可知,当t→∞时,v=(F-μmg)(R+r)/B²L²,也就是说,时间无穷大,才能达到匀速的速度,所以此题不应该问时间怎么求.可以求出匀速速度是v=(F-μmg)(R+r)/B²L²
再次对t积分,就可以求出位移s和t的关系,这个积分没有前面解微分方程难,不过计算也挺繁琐,这里我就不计算了,你如果有兴趣,以后学了微分方程可以自己算（或者你现在就明白微分方程也可以解）.求出表达式后,当t无穷大时,位移也是无穷大（具体我没算,不过我用p和q把位移表达式求出来了,根据表达式,得到位移无穷大）.

棒在磁场中的相对长度呢？

用F=0.7N的恒力拉动导体棒，经过2s之后导体棒匀速运动，可以列式
F-μmg-IBL=0,
得到BL=(F-μmg)/I,
此时电压表的示数为0.3V，I=U/R=0.3V/1.5Ω=0.2A,电动势E=U+Ir=0.3V+0.2A×0.5Ω=0.4V,
BL=(F-μmg)/I=(0.7N-0.5×0.1kg×10m/s²)/0.2A=1N/A,

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用F=0.7N的恒力拉动导体棒，经过2s之后导体棒匀速运动，可以列式
F-μmg-IBL=0,
得到BL=(F-μmg)/I,
此时电压表的示数为0.3V，I=U/R=0.3V/1.5Ω=0.2A,电动势E=U+Ir=0.3V+0.2A×0.5Ω=0.4V,
BL=(F-μmg)/I=(0.7N-0.5×0.1kg×10m/s²)/0.2A=1N/A,
设导体棒匀速运动时的速度为v,有E=BLv,于是
v=E/BL=0.4V/1N/A=0.4m/s,
导体棒加速过程中,电流是变化的，设平均电流为I*,加速时间为t，位移为x，那么由动量定理和动能定理
(F-μmg-I*BL)t=mv-0,
(F-μmg-I*BL)x=0.5mv²-0,
其中t=2s，代入数据，得
通过某一横截面的电荷量Q=I*t=0.36C, x=2.5m
正如所说，“位移的求法......不能用平均电流列方程”，因为平均电流是时间上的平均值，用于位移是不对的，可是，对于高中，还不要求用微积分求解，怎么办，我想到的办法是：
平均电流I*=E*/(R+r)=BLv*/(R+r)=BL(x/t)/(R+r),
其中E*是平均电动势，v*是平均速度，v*=x/t，上式两边乘以t，得
I*t=BLx/(R+r),
即x=I*t(R+r)/BL=Q(R+r)/BL=0.72m,
这样就避免用到微积分了。

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