x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a＞0恒成立,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:44:23
x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a＞0恒成立,求a的范围
x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a＞0恒成立,求a的范围
x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a＞0恒成立,求a的范围
设f（x）=(a^2-1)x+2a,图像是一条直线
（1）当a^2-1＞0,即a＞1或a＜-1；直线斜率为正,单调递增,在[0,1]上最小值是f（0）,故满足f（0）＞0即可
f（0）=2a＞0,所以a＞1满足；
（2）当a=1时,也满足；
（3）当a^2-1＜0,即-1＜a＜1时,直线斜率为负,单调递减,在[0,1]上最小值是f（1）,故满足f（1）＞0即可
f（1）=a^2+2a-1＞0
即a^2+2a-1＞0
a^2+2a+1-2＞0
a^2+2a+1＞2
(a+1)^2＞2
a+1＞√2,a+1＜﹣√2；
a＞√2-1,a＜﹣√2-1
所以,1＞a＞√2-1
综上所述：a＞√2-1
（1）当a²-1=0时，不等式化为 2a＞0，故a=1。
（2）当a²-1≠0时，令f(x)=(a²-1)x+2a，则f(x)为一次函数，是单调的，
从而“x属于[0,1]时,不等式(a²-1)x+2a＞0恒成立”，等价于
f(0)>0
f(1)>0
即 2a>0
a²-1+2...
全部展开
（1）当a²-1=0时，不等式化为 2a＞0，故a=1。
（2）当a²-1≠0时，令f(x)=(a²-1)x+2a，则f(x)为一次函数，是单调的，
从而“x属于[0,1]时,不等式(a²-1)x+2a＞0恒成立”，等价于
f(0)>0
f(1)>0
即 2a>0
a²-1+2a＞0
解得a>√2-1
由（1）（2）a的范围为a>√2-1
收起
f（x）= (a^2-1)x+2a 在x属于[0,1]时＞0恒成立
1' a^2-1>0 即 a<-1 or a>1时，f(x)min=f(0)=2a>0恒成立 得 a>0
2' a^2-1=0 即 a=-1 or a=1时，2a>0恒成立 得 a>0
3' a^2-1<0 即 -1
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f（x）= (a^2-1)x+2a 在x属于[0,1]时＞0恒成立
1' a^2-1>0 即 a<-1 or a>1时，f(x)min=f(0)=2a>0恒成立 得 a>0
2' a^2-1=0 即 a=-1 or a=1时，2a>0恒成立 得 a>0
3' a^2-1<0 即 -1
收起