求关于圆的四边形的最小面积已知P是直线3x+4y+8=0上的懂点,PA,PB是圆 x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 02:57:05
求关于圆的四边形的最小面积已知P是直线3x+4y+8=0上的懂点,PA,PB是圆 x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为?
求关于圆的四边形的最小面积
已知P是直线3x+4y+8=0上的懂点,PA,PB是圆 x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为?
求关于圆的四边形的最小面积已知P是直线3x+4y+8=0上的懂点,PA,PB是圆 x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为?
∵圆的方程为x^2+y^2-2x-2y+1=0,
∴x^2-2x+1+y^2-2y+1=1,
∴(x-1)^2+(y-1)^2=1^2,
∴圆心为C(1,1),半径为1,
∵P是直线3x+4y+8=0动点,
PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,
∴PA⊥CA,PB⊥CB,
设PC的长度为a,
∴PA=PB=√(PC^2-AC^2)=√(a^2-1),
显然根据切线长定理可知PA=PB,又AC=BC,PC=PC,
∴△PAC≌△PBC,
而S△PAC=PA*AC/2,
S四边形PACB=2*S△PAC=PA*AC=√(a^2-1)*1=√(a^2-1),
即四边形PACB的面积取决于线段PC的长度,
所以要使四边形PACB的面积最小,
只要让PC取到最小值即可,
而直线外一点到直线上各点连接的所有线段中,垂线段最小,
即CP⊥直线3x+4y+8=0时,PC取到最小值,
而CP⊥直线3x+4y+8=0时PC=|3*1+4*1+8|/√(3^2+4^2)=15/5=3,(代入点到直线的距离公式)
即a=3,
S四边形PACBmin=√(a^2-1)=√(3^2-1)=√8=2√2.