证明不等式大小已知a≠b,求证a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 21:43:29
证明不等式大小已知a≠b,求证a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
证明不等式大小
已知a≠b,求证a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
证明不等式大小已知a≠b,求证a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
a^4+6a^2b^2+b^4-4ab（a^2+b^2)
=(a^2-b^2)^2+8a^2b^2-4ab（a^2+b^2)
=(a^2-b^2)^2-4ab(a^2+b^2-2ab)
=(a+b)^2*(a-b)^2-4ab(a-b)^2
=(a-b)^2*(a-b)^2
=(a-b)^4>0
所以a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
a^4+6a^2b^2+b^4=a^4+2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2+4a^2b^2
>=2*根号[(a^2+b^2)^2*4a^2b^2]=4ab（a^2+b^2)
利用a^2+b^2>=2ab 或 a+b>=2*根号（ab）
然后仅当a=b时才相等,所以是>.
左边-右边
=a^4+6a^2b^2+b^4-4ab（a^2+b^2)
=a^4-4a^3*b+6a^2b^2-4ab^3+b^4
=(a^4-2a^2b^2+b^4)-(4a^3b-8a^2b^2+4ab^3)
=(a^2-b^2)^2-4ab(a^2-2ab+b^2)
=(a-b)^2*(a+b)^2-4ab(a-b)^2
=(a-b)^2[(a...
全部展开
左边-右边
=a^4+6a^2b^2+b^4-4ab（a^2+b^2)
=a^4-4a^3*b+6a^2b^2-4ab^3+b^4
=(a^4-2a^2b^2+b^4)-(4a^3b-8a^2b^2+4ab^3)
=(a^2-b^2)^2-4ab(a^2-2ab+b^2)
=(a-b)^2*(a+b)^2-4ab(a-b)^2
=(a-b)^2[(a+b)^2-4ab)]
=(a-b)^2*(a-b)^2
=(a-b)^4 又a≠b 所以(a-b)^4 >0
所以左边>右边
即a^4+6a^2b^2+b^4＞4ab（a^2+b^2).
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