任意三角形三条高为什么会交于一点是啊,为什么?!?!?!?!?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/31 15:41:56
任意三角形三条高为什么会交于一点是啊,为什么?!?!?!?!?
任意三角形三条高为什么会交于一点
是啊,为什么?!?!?!?!?
任意三角形三条高为什么会交于一点是啊,为什么?!?!?!?!?
如图,AE,BF是△ABC的两条高,相交于点H
连接CH并延长,交AB于D
求证:CD⊥AB
证明:连接EF
∵∠BFC=∠CEH=90°
∴C、F、H、E四点共圆
∴∠1=∠2
∵∠AFB=∠AEB=90°
∴A、B、E、F四点共圆
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴C、B、D、F四点共圆
∴∠CDB=∠CFB=90°
注
∠ACD=∠1
∠FEH=∠2
∠ABF=∠3
图片太慢,需要我就上传
下面传图片
因为高是垂直三条边的,这三条边都相交,垂直他们的自然也相交,就这个道理
塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/F...
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塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。
收起
可以用平面解析几何解
将ABC三点坐标设出来
这样就可以分别写出在AB、BC、AC上的高的方程
最后可以证明相交于一点