在等腰RT△ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的动点,D为射线BC上一点,且PB=PD,过D点作AC边上的高DE（1）求证：PE=BO；（2）设AC=2,AP=x,四边形PBDE面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:33:12
在等腰RT△ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的动点,D为射线BC上一点,且PB=PD,过D点作AC边上的高DE（1）求证：PE=BO；（2）设AC=2,AP=x,四边形PBDE面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的
在等腰RT△ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的动点,D为射线BC上一点,且PB=PD,过D点作AC边上的高DE
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=2,AP=x,四边形PBDE面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
在等腰RT△ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的动点,D为射线BC上一点,且PB=PD,过D点作AC边上的高DE（1）求证：PE=BO；（2）设AC=2,AP=x,四边形PBDE面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的
（1）PB＝PD ∴∠PBD＝∠PDB
在△PDB中,∠BPD＝180°－2∠PDB＝180°－（2∠DPE＋90°）＝90°－2∠DPE ∴∠BPO＝90°－∠DPE
又∠PDE＝90°－∠DPE ∴∠BPO＝∠PDE
∵∠BOP＝∠PED＝90°,BP＝PD
∴△BOP≌△PED ∴PE＝BO
（2）S四边形PBDE＝S△PBC－S△CED＝（PC＊BO）／2－CE²／2
又PC＝AC－AP＝2－x BO＝1／2AC＝1 CE＝1－x
∴y＝1－x／2－（1－x）²／2
整理得 y＝－1／2（x²－x－1） x∈（0,1）
分析 1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；
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分析 1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论； 答案 （1）P在AO上（如图1）： ∵PB=PD P在OC上（如图2）： ∴S△PBD＝1/2（8x-x²）(0＜x＜8) 即y=1/2（8x-x²）(0＜x＜8)
（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4-x，此时，S△PBD=SPBDE-S△PDE，当P在OC上时，PO=DE=EC=x-4，此时S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE-S△CDE=S△PBC+S△POB-S△CDE
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO
P在OC上（如图2）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°
∴∠PB0=∠DPE
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO
（2）P在AO上（如图1）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=4-x，
∴S△PBD=SPBDE-S△PDE=S△PBO+SOBDE-S△PDE=SOBDE=S△OBC-S△DEC
∴S△PBD= 1/2x4x4-1/2(4-x)²=1/2（8x-x²）(0＜x≤4)
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=x-4，
∴S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE-S△CDE=S△PBC+S△POB-S△CDE
=S△OBC−S△DEC＝1/2x4x4-1/2(x-4)²=1/2（8x-x²）(4＜x＜8)
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