平面几何超难题如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴,交准线l于点Q.连接AQ,BQ.求证：RQ平分角AQB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:52:09
平面几何超难题如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴,交准线l于点Q.连接AQ,BQ.求证：RQ平分角AQB
平面几何超难题
如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴,交准线l于点Q.连接AQ,BQ.
求证：RQ平分角AQB
平面几何超难题如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴,交准线l于点Q.连接AQ,BQ.求证：RQ平分角AQB
过A、B分别作长轴平行线交准线于A1、B1
B1Q：A1Q=RB：RA（平行线截线段成比例）
=FB：FA（FR平分∠AFB,图中结论）
=BB1：AA1
且∠BB1Q=∠AA1Q=90度
所以△BQB1∽△AQA1
所以∠B1BQ=∠A1AQ（相似三角形对应角相等）
∠AQR=∠B1BQ=∠A1AQ=∠BQR（平行线内错角相等）
图片来源：
《圆锥曲线的几何性质》 通俗数学名著译丛 上海教育出版社
连接OA、OB
出这题的人精神有问题
取左焦点F1 F标记成F2 作AA1⊥l于A1 BB1⊥l于B1 作F1关于PA的对称点X ，F1关于PB的对称点Y，如图连接各线段 通过椭圆的光学性质：X，A，F2共线；Y，B，F2共线。 利用如下关系：XF2=XA+AF2=AF1+AF2=椭圆长轴（这里利用对称性质，XA=AF1） 同理YF2=YB+BF2=BF1+BF2=椭圆长轴 所以XF2=YF2 再有对称性，PX=PF1=PY 根据全等 △PX2全等于△PYX2 所以F2P平分角AF2B 由角平分线定理：A1Q：B1Q=AR：RB=AF2：BF2=（AA1*e）：（BB1*e）=AA1：BB1 即∠AQA1=∠BQB1 两边用90°减 就得到QR是∠AQB的平分线
可以画坐标，用余弦定理算吧