一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/23 01:27:35

一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)

一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;

一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
这个我会的,
第一问不用说了,简单可得
我主要说说第2问:
构造辅助函数 F(x)=f(x)-x-(0到x的变上限积分)[f(t)-t]dt
那么,显然有,F(x)在[0,n]上连续,在(0.n)内可导,且
F(0)=0,F(n)=0,根据 roll定理,
存在k,使得F'(k)=0

令G(x)=f(x)-x。G(1)=f(1)-1=-1<0,G(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0.由零点定理可知，至少存在一点 n 属于（1/2,1）使得 G(n)=0,即 f(n)=n。
第二个问，
没推出来，唉~~老了

这两问都不难，第一问可用罗尔定理做，第二问可用柯西定理做（把f(1 /2)代替1用进去），写起来太麻烦了，不然就给你写写。。。。

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