求arctan（2tanX/2）的导数!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 05:55:12
求arctan（2tanX/2）的导数!
求arctan（2tanX/2）的导数!
求arctan（2tanX/2）的导数!
令y=arctan(2tan(x/2))
则：tany=2tan(x/2)
两边对x求导得：y'sec²y=sec²(x/2)
因此：y'=sec²(x/2)/sec²y
注意到：tany=2tan(x/2),则sec²y=1+tan²y=1+4tan²(x/2)
因此：y'=sec²(x/2)/[1+4tan²(x/2)]
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解 我们知道 f(x)=arctanx 的导数 f'(x)=1/（1+x²）
由原式y=arctan（2tanX/2）令v=x/2, w=2tanv,u=arctan（2tanX/2)
则 y'= dy／dx = (dy／du)×(du／dw)×(dw／dx)
＝u'×w'×v'
＝arctan u' × w' × v'
...
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解 我们知道 f(x)=arctanx 的导数 f'(x)=1/（1+x²）
由原式y=arctan（2tanX/2）令v=x/2, w=2tanv,u=arctan（2tanX/2)
则 y'= dy／dx = (dy／du)×(du／dw)×(dw／dx)
＝u'×w'×v'
＝arctan u' × w' × v'
＝1/[1+（2tanX/2)² ]×[2/cos²(X/2)]×1/2
＝1/[1+（2tanX/2)²×[1/cos²(X/2)]
由tanX=sinx/cosx得出tanX/2=(sinx/2)/(cosx/2)
∴ y' ＝1/[1+（2tanX/2)²×[1/cos²(X/2)]=1/[1+3sin²(x/2)]
因此 y=arctan（2tanX/2）的导数
y' ＝1/[1+3sin²(x/2)]
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