正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN（P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点）垂直
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 23:56:27
正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN（P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点）垂直
正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN（P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点）垂直
正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN（P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点）垂直
以A为原点,AD,AB,AA'分别为x,y,z轴建立直角座标系,并设正方形边长为2.
则B(0,2,0),D'(2,0,2),P(0,1,2),M(1,0,0),N(2,2,1)
向量BD'=(2,-2,2),向量PM=(1,-1,-2),向量PN=(2,1,-1)
设平面PMN法向量为向量n=(x,y,1),则:
x-y-1=0
2x+y-1=0
解得x=1,y=-1,因此向量n=(1,-1,1)
∴向量BD'=2向量n
∴向量BD'∥向量n
∴向量BD'是平面PMN的法向量,BD'⊥面PMN
证明：连接D1M、D1N、BM、BN （证毕）
空间四边形BMD1N中
容易得到： D1M＝D1N＝BM＝BN
容易证明： BD1⊥MN（如果空间四边形四条边相等，那么两条对角线互相垂直）①
过P点在面AB1上作PK⊥AB，垂足为K，连接KM
∵M、K分别是AD、AB中点 ∴KM∥BD
而BD⊥AC ∴MK⊥AC
∵面AB1⊥面AC ∴PK是面AC垂线
PM是面AC斜线
MK是斜线PM在面AC上的射影
∴PM⊥AC（如果平面上的一条直线垂直于平面上一条斜线的射影，那么这条直线也垂直于这条斜线）（三垂线定理）
同理可证 BD1⊥AC（BD1的射影BD⊥AC）
∴BD1⊥PM ②
由 ①和②得到
BD1⊥平面PMN（如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）