设φ(x)在x=0处,二阶导数连续,且φ(0)=φ'(0)=0 φ"不等于0,证明在x=0处,y=f(x)=(1-e^2x)φ(x)必有拐点.f＂（0）=0还是易证,但f＂（x）在x=0处两侧附近异号证不出来,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 18:03:33
设φ(x)在x=0处,二阶导数连续,且φ(0)=φ'(0)=0 φ"不等于0,证明在x=0处,y=f(x)=(1-e^2x)φ(x)必有拐点.f＂（0）=0还是易证,但f＂（x）在x=0处两侧附近异号证不出来,
设φ(x)在x=0处,二阶导数连续,且φ(0)=φ'(0)=0 φ"不等于0,证明在x=0处,y=f(x)=(1-e^2x)φ(x)必有拐点.
f＂（0）=0还是易证,但f＂（x）在x=0处两侧附近异号证不出来,
设φ(x)在x=0处,二阶导数连续,且φ(0)=φ'(0)=0 φ"不等于0,证明在x=0处,y=f(x)=(1-e^2x)φ(x)必有拐点.f＂（0）=0还是易证,但f＂（x）在x=0处两侧附近异号证不出来,
f(x)=(1-e^2x)φ(x)
那么
f '(x)= -2e^2x *φ(x) +(1-e^2x) *φ'(x)
f "(x)= -4e^2x *φ(x) - 2e^2x *φ'(x) -2e^2x *φ '(x) +(1-e^2x) *φ"(x)
= -4e^2x *φ(x) -4e^2x *φ '(x) + (1-e^2x) *φ"(x)
φ(0)=φ '(0)=0,而1-e^0=0
所以
f "(0)=0,
再求三阶导数,
f"'(x)= -8e^2x *φ(x) -4e^2x *φ '(x) -8e^2x *φ '(x) -4e^2x *φ "(x) -2e^2x *φ"(x)+ (1-e^2x) *φ"'(x)
= -8e^2x *φ(x) -12e^2x *φ '(x) -6e^2x *φ "(x)+ (1-e^2x) *φ"'(x)
所以
f"'(0)= -6φ "(0),已知φ "(0)不等于0了,
所以三阶导数f"'(0)不等于0,
那么f "(x) 在x=0处两侧附近是异号的,
所以x=0就是f(x)的拐点