[高等数学]:微分方程,二元极限解一个微分方程:(x^2+xy)dx-y^2dy=0讨论函数在点(0.0)的重极限与累次极限:f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)做出来再加50分

[高等数学]:微分方程,二元极限解一个微分方程:(x^2+xy)dx-y^2dy=0讨论函数在点(0.0)的重极限与累次极限:f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)做出来再加50分
[高等数学]:微分方程,二元极限
解一个微分方程:
(x^2+xy)dx-y^2dy=0
讨论函数在点(0.0)的重极限与累次极限:
f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)
做出来再加50分

[高等数学]:微分方程,二元极限解一个微分方程:(x^2+xy)dx-y^2dy=0讨论函数在点(0.0)的重极限与累次极限:f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)做出来再加50分
第一道题并不是难,而是计算比较麻烦,第二道题稍微难些
由(x²+xy)dx-y²dy=0 化为 dy/dx=(x/y)²+x/y (1)
设y/x=u y=ux 则dy/dx=u+xdu/dx
代入(1)整理得到 u²du/(1+u-u^3)=dx/x
右边容易积分,左边就比较麻烦
需要一元三次方程的求根公式和一些高等代数的知识,我假设你已经了解
对于u²/(1+u-u^3)
先分解分母并乘以-1
对于u^3-u-1,根据试根法,容易发现其没有有理根
只能用根的公式直接求了.
根据一元三次方程的求根公式u1,u2,u3
知道 设s=三次根号下[(9+√69)/18] t=三次根号下[(9-√69)/18]
u1=s+t
u2=sω+tω²
u3=sω²+tω
其中ω=-1/2+√3i/2 其中i是纯虚数,i²=-1
这样u^3-u-1=(u-u1)(u-u2)(u-u3)
容易知道(u-u2)(u-u3)=u²+(s+t)u+s²-st+t²
这样的表达比较麻烦,我不妨将上式设为
(u-u2)(u-u3)=u²+bu+c 该式子在有理数域上显然是无法分解的,故不可约
u1=a
这样u²/(1+u-u^3)=u²/(u-a)(u²+bu+c)
设u²/(u-a)(u²+bu+c)=p/(u-a)-(mu+n)/(u²+bu+c) p,m,n为未知参量
对于上式右边合并整理后对比可以得到
p=-(ab+c)/(a²+ab+c) m=a²/(a²+ab+c) n=-ac/(a²+bc+c)
这样p,m,n就为已知量了
下面就是认真仔细的积分的问题了
∫[p/(u-a)]du=pln|u-a|+k1
∫[(mu+n)/(u²+bu+c)]du=(m/2)∫[(2u+b)/(u²+bu+c)]du-[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]∫{1/[[(1/√(c-b²/4))(u+b/2)]²+1]}d[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)+k2
其中k1,k2为常数
这样
u²du/(1+u-u^3)=dx/x两边同时积分得到方程的通解
pln|u-a|+(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量,k为常数
由于u=y/x
则最后通解为
pln|y/x-a|+(m/2)ln|y²/x²+by/x+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](y/x+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量,k为常数
我补充说明一下,p,m,n,a,b,c根据前面所设所求都可以顺次求出具体的数值,由于非常麻烦,我都略去,希望你能自己求出结果,我只是说出这个题目的大概思路.
已知函数f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy) 在点(0,0)
累次极限
由于无论是x→0还是y→0的时候 f(x,y)的累次极限显然都不存在
重极限
可以使用如下技巧,假设,f(x,y)延y=kx (k为常数)趋向于(0,0)时
f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)=(e^x-e^kx)/sin(kx²)
显然,当x→0时,limf(x,kx)不存在
所以f(x,y)的重极限也不存在

二次极限：
lim y->0 f(x,y) 和 lim x->0 f(x,y)都不存在 所以二次极限不存在
二重极限：
作极坐标变换： x=acost y=asint
于是 上式=
lim a->0 [e^(acost)-e^(asint)]/(a^2sintcost)
罗比达 = e^(acost)/2asint-e^(asint)/2...

全部展开

二次极限：
lim y->0 f(x,y) 和 lim x->0 f(x,y)都不存在 所以二次极限不存在
二重极限：
作极坐标变换： x=acost y=asint
于是 上式=
lim a->0 [e^(acost)-e^(asint)]/(a^2sintcost)
罗比达 = e^(acost)/2asint-e^(asint)/2acost
继续罗比达 = 0.5(tant+cott)
显然 极限并不是一个与t无关的常数 所以 二重极限不存在！

收起

第一题
令y=tx
算出来一个
t^2dt/(1+t-t^3)=dx/x 不会做了！
会不会是(x^2+xy)dy-y^2dx=0 ? :)
第二题 貌似都不存在.....
二次极限：
lim y->0 f(x,y) 和 lim x->0 f(x,y)都不存在 所以二次极限不存在
二重极限：
作极坐标变换： x=acost...

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第一题
令y=tx
算出来一个
t^2dt/(1+t-t^3)=dx/x 不会做了！
会不会是(x^2+xy)dy-y^2dx=0 ? :)
第二题 貌似都不存在.....
二次极限：
lim y->0 f(x,y) 和 lim x->0 f(x,y)都不存在 所以二次极限不存在
二重极限：
作极坐标变换： x=acost y=asint
于是 上式=
lim a->0 [e^(acost)-e^(asint)]/(a^2sintcost)
罗比达 = e^(acost)/2asint-e^(asint)/2acost
继续罗比达 = 0.5(tant+cott)
显然 极限并不是一个与t无关的常数 所以 二重极限不存在！

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