证明任何梯形两底中点,对角线交点和两腰延长线的交点四点共线

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 00:39:29

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证明任何梯形两底中点,对角线交点和两腰延长线的交点四点共线

证明任何梯形两底中点,对角线交点和两腰延长线的交点四点共线
梯形ABCD中,AD∥BC,BA、CD相交于点G,
AC、BD相交于点F,作直线GH交AD于E,
交BC于F
∵AD∥BC
∴AE/BF＝GA/GB＝AD/BC＝AH/HC＝EH/HF＝ED/BF
∴AE＝ED
又AE/BF＝GE/GF＝ED/FC
∴BF＝FC
可见E、F分别是AD、BC的中点,从而说明E、F、G、H四点共线

这么简单的题，自己回去看梅涅劳斯定理，很没技术含量

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证明：这个题得分两步证明。
第一步：证明两腰延长线与两底中点三点共线。设梯形ABCD，AD//BC，BA与DC的延长线交于E，F为AD中点，连接EF，延长交BC于G，于是，这个命题的证明可转变为：证明G为BC中点。考虑三角形EAF和三角形EBG，显然，这两个三角形相似，于是AF/BG=EF/EG，同理，考虑三角形EFD和三角形EGC，这俩也相似，于是FD/GC=EF/EG，于是得到AF/BG=FD/GC，即AF/FD=BG/GC，而F为AD中点，因此BG/GC=1，也即G为BC中点，因此，两底的中点与两腰延长线的交点三点共线。
第二步，证明两底中点与对角线交点三点共线。设对角线相较于O，并设AD中点为F，连接FO延长交BC于G'，于是将这个问题转化为：证明G‘为BC中点。同样是通过三角形AOF与三角形COG'的相似以及FOD与G'OB的相似，得到BG’/G‘C=1，也即G'为BC中点。因此，两底中点与对角线交点三点共线。
综合上述两个三点共线，则得到四点共线的结论，证毕。

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