27．（本题12分）如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（3分）（2）求证:∠PAC= ∠BAP；（4分）（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD‖B
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 12:06:17
27．（本题12分）如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（3分）（2）求证:∠PAC= ∠BAP；（4分）（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD‖B
27．（本题12分）如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连结AC、PD.
（1）求证:△APB≌△DPC；（3分）
（2）求证:∠PAC= ∠BAP；（4分）
（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD‖BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB,PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.
注意解一二两问.
27．（本题12分）如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（3分）（2）求证:∠PAC= ∠BAP；（4分）（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD‖B
（1）
因为PB=PC
所以∠PBC=∠PCB
又∠ABC=∠DBC=90°
所以∠ABP=∠DCP
又AB=CD,PB=PC
所以△APB≌△DPC
（2）
取BC中点N,AC中点O,连接OP延长交AD于M
因为ON‖AB,ON⊥BC,PC=PB
所以PN为BC垂直平分线
M、O,P,N共线
因为AP=AB=AD
所以MA=AP/2
所以RT△PMA中,∠MPA=∠BAP=30°
所以∠PAC=∠BAC-∠BAP=∠45°-30°=15°
所以∠PAC=1/2*∠BAP
（3）
设∠PAC=x°,∠BAP=y°
因为△APB≌△DPC
所以PA=PD=AB=AD=CD,∠PDC=∠BAP
所以PAD为等边△
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°,∠PDC=y°
而∠PAC+∠APD=∠PDC+∠DCA
即 x°+60°=y°+（60-x）°,x°=y°/2
所以∠PAC=1/2*∠BAP
证明：因为四边形ABCD是正方形，则有AB=CD，
因为PB=PC，所以∠PBC=∠PCB，且∠ABC=∠BCD，所以∠ABP=∠DCP
则由“SAS”可得:△APB≌△DPC
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∵BP=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
又∵AB=CD，BP=CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，
由图形得，x+60=y+...
全部展开
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∵BP=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
又∵AB=CD，BP=CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，
由图形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=∠BAP；
（3）以D为圆心，DA为半径画圆，
设∠PAC=x°，∠BAP=y°，
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，
由X型得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=∠BAP。
收起