limx->0((1+x)^(1/x))/e)^(1/x) ,我还想知道为什么不可以用等价无穷小,即(1+x)^(1/x)等价于e

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 07:52:17
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limx->0((1+x)^(1/x))/e)^(1/x) ,我还想知道为什么不可以用等价无穷小,即(1+x)^(1/x)等价于e

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等价无穷小,也就是等价替换,只能用在因式当中,也就是你想替换的量必须是以因式的形式出现的,本题中(1+x)^(1/x)这个量对整个表达式而言不是因式形式的,也就是原表达式不是(1+x)^(1/x)与别的某个量的乘积,因此不能替换.正确做法:取对数,变形再用洛必达法则:=lim [ln(1+x)^(1/x)-1]/x=lim [ln(1+x)-x]/x^2=lim [1/(1+x)-1]/(2x)=lim [-x/(1+x)]/(2x)=-1/2,因此原极限是e^(-1/2).