高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1 求f(x)注意了,要有详细过程啊!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/21 22:12:07
高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1 求f(x)注意了,要有详细过程啊!
高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程
f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1
求f(x)
注意了,要有详细过程啊!
高一数学题（关于函数的）在线等～要有详细过程f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1 求f(x)注意了,要有详细过程啊!
令f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0 → c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+(a+b)
f(x+1)=f(x)+x+1 → ax²+(2a+b)x+(a+b) = ax²+(b+1)x+1
比较系数得
2a+b=b+1
a+b=1
故a=b=1/2
f(x)=(x²+x)/2
stjuliusaxel的思路很赞,但从任意的实数x未必能通过逐次减1的过程到达0,因此该方法求出的实际上仅仅是定义在自然数集上的f(n),而不是f(x).
f(x)=f(x-1)+x-1+1
f(x-1)=f(x-2)+x-2+1
...
f(2)=f(1)+1+1
f(1)=f(0)+0+1
叠加得到
f(x)=f(0)+x(x-1)/2+x
=(x^2+x)/2
f(x+1)=f(x)+x+1;
移项：f(x+1)-f(x)=x+1;
类似的：f(x)-f(x-1)=x;
......
f(2)-f(1)=2;
f(1)-f(0)=1.
累加得：f(x)-f(x-1)+...f(2)-f(1)+f(1)+f(0)=x+...+2+1;
得:f(x)-f(0)=x*(x+1)/2;
又因为f(0)=0;
f(x)=x*(x+1)/2.
因为 f(0)=0
所以 c=0
所以 f(x)=ax^2+bx
把 x+1带入
a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1
整理得 2ax+a+b=x+1
所以 2a=1,a=1/2
a+b=1,b=1/2
所以 f(x)=1/2x^2+1/2x
哈 差不多就是上面那些了