已知A B C 是最大边长为2的三角形的三个内角,向量m=(2sin A-B/2,4sin C/2),|m|=根号10,(1)求tanAtanB的值,(2)求C的最大值及此时三角形的面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/24 09:23:07
已知A B C 是最大边长为2的三角形的三个内角,向量m=(2sin A-B/2,4sin C/2),|m|=根号10,(1)求tanAtanB的值,(2)求C的最大值及此时三角形的面积.
已知A B C 是最大边长为2的三角形的三个内角,向量m=(2sin A-B/2,4sin C/2),|m|=根号10,(1)求tanAtanB的值,(2)求C的最大值及此时三角形的面积.
已知A B C 是最大边长为2的三角形的三个内角,向量m=(2sin A-B/2,4sin C/2),|m|=根号10,(1)求tanAtanB的值,(2)求C的最大值及此时三角形的面积.
|m|^2=10=4(sin (A-B)/2)^2+16(sinc/2)^2
根据1-2(sinx)^2=cos2x 化上式为 1-cos(A-B)+4-4cosC=5
即4cosC+cos(A-B)=0 因为C=180度-A-B 所以cosC=-cos(A+B)
代入得4cos(A+B)=cos(A-B) 拆开有
4cosAcosB-4sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB
3cosAcosB=5sinAsinB 右式除以左式得tanAtanB=3/5
因为tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanA+tanB)/2/5
因为tanAtanB>0 tanA和tanB又不可能都小于0,所以tanA和tanB都大于0
则tanC<0 那么tanC越大 C越大 即tanA+tanB越小 C越大
又根据重要不等式tanA+tanB>=2根号下(tanAtanB) 所以tanA+tanB最小是当tanA=tanB时
不知道计算的对不对 但方法就这样了