已知y=f（x）定义域为（0,+无限大）,且是单调函数,并且满足f（2）=1,f（x/y）=f（x）-f（y）.（1）求证f（x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）-f（x+3）≤2,求x的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 23:57:14
已知y=f（x）定义域为（0,+无限大）,且是单调函数,并且满足f（2）=1,f（x/y）=f（x）-f（y）.（1）求证f（x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）-f（x+3）≤2,求x的取值范围
已知y=f（x）定义域为（0,+无限大）,且是单调函数,并且满足f（2）=1,f（x/y）=f（x）-f（y）.
（1）求证f（x²）=2f（x）
（2）求f（1）的值
（3）若f（x）-f（x+3）≤2,求x的取值范围
已知y=f（x）定义域为（0,+无限大）,且是单调函数,并且满足f（2）=1,f（x/y）=f（x）-f（y）.（1）求证f（x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）-f（x+3）≤2,求x的取值范围
(1)证明：
令x=y=1,则
f(1)=f(1)-f(1)=0
令x=1,则
f(1/y)=f(1)-f(y)
即f(1/x)=-f(x)
令y=1/x,则
f(x²)=f(x)-f(1/x)=f(x)+f(x)=2f(x)
得证
(2)由(1)已经求出f(1)=0
(3)∵f(2)=1
∴f(4)=2f(2)=2
∴f（x）-f（x+3）≤2=f(4)
∴f(x/（x+3))≤f(4)
定义域是x＞0
∵函数是单调的,f(1)=0,f(2)=1,所以函数是单调递增函数
∴x/(x+3)≤4
x≤4x+12
∴x≥-4
综上,得x的范围是(0,+∞)
(1)已知f（x/y）=f（x）-f（y），这个函数为抽象函数，令x=xy,y不变,该式可变为f(xy/y)=f(xy)-f(y)即f(x)=f(xy)-f(y)变为f(xy)=f(x)+f(y)再令y=x，
即得f(x²）=2f（x）
(2)已知f（x/y）=f（x）-f（y）,令x=2,y=1得f(2)=f(2)-f(1)得f(1)=0
(3)已知f（x/y）...
全部展开
(1)已知f（x/y）=f（x）-f（y），这个函数为抽象函数，令x=xy,y不变,该式可变为f(xy/y)=f(xy)-f(y)即f(x)=f(xy)-f(y)变为f(xy)=f(x)+f(y)再令y=x，
即得f(x²）=2f（x）
(2)已知f（x/y）=f（x）-f（y）,令x=2,y=1得f(2)=f(2)-f(1)得f(1)=0
(3)已知f（x/y）=f（x）-f（y)令x=4,y=2得f（2）=f(4)-f(2)得f(4)=2
f（x）-f（x+3）≤2等价于 f(x/(x+3))<=f(4)要求值需要利用单调性。
因为该函数是单调函数，由上知道f(2)>f(1)所以该函数单调递增
所以x/(x+3)<=4
x>0
x+3>0
解答得
x>0
如果你还不明白，可以联系我，非常乐意为您效劳！
收起
由题得：f(2)=f(2/1)=f(2)-f(1)=1~~f(1)=0~~~f(x^2)=f[x/(1/x)]=f(x)-f(1/x)=f(x)-f(1)+f(x)=2f(x)~~~~~<2>:由一得f(1)=0~~~~~~~<3>:f(x)=f(x)-f(x+3)=[x/(x+3)]~~~~~2=f(2)+f(2)=2f(2)=f(4)~~~~f(x)为当调函数,又f(1)=0