用定义证明下列极限：lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二要用什么大N定理，不是你们这样证明的。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 23:55:41
用定义证明下列极限：lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二要用什么大N定理，不是你们这样证明的。
用定义证明下列极限：lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二
要用什么大N定理，不是你们这样证明的。
用定义证明下列极限：lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二要用什么大N定理，不是你们这样证明的。
求证：lim(x->π/4) sinx = √2/2 = sin(π/4)
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ √2/2 = sin(π/4) ,|cosx| ≤ 1 ,|sinx|≤|x|
∴要使 | sinx - √2/2| < ε 成立,
即只要满足：|sinx - √2/2| = | sinx - sin(π/4)| = |2cos[(x+π/4)/2]*sin[(x-π/4)/2]|
≤ |2sin[(x-π/4)/2]| ≤|2[(x-π/4)/2]| =|(x-π/4)|< ε 即可.
② 故存在 δ = ε > 0
③ 当 | x-π/4 |< δ =ε 时,
④ 恒有：|sinx - √2/2 | < ε 成立.
∴ lim(x->π/4) sinx = √2/2
任给ε>0,则要证存在a>0，使得当0<|x-π/4|<δ,恒有|sinx-sinπ/4|<ε
|sinx-sinπ/4|
=|sin((x-π/4)+π/4)-sinπ/4|
=|sin(x-π/4)cosπ/4-cos(x-π/4)sinπ/4-sinπ/4|
<|√2/2*sin|δ|-√2/2*cos|δ|-√2/2|
=|sin(|δ|-π/4)-...
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任给ε>0,则要证存在a>0，使得当0<|x-π/4|<δ,恒有|sinx-sinπ/4|<ε
|sinx-sinπ/4|
=|sin((x-π/4)+π/4)-sinπ/4|
=|sin(x-π/4)cosπ/4-cos(x-π/4)sinπ/4-sinπ/4|
<|√2/2*sin|δ|-√2/2*cos|δ|-√2/2|
=|sin(|δ|-π/4)-√2/2|<ε
则√2/2-ε
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这题目有没有写错
楼主你是说 这个定理吧：任意数ε>0，存在一个正整数N，当n>=N时，恒有
/Xn-a/<ε 则 limXn=a（X趋向无穷），这个是数列极限的定义。函数极限的定义不是这个。具体的楼主自己去看高等数学上，具体的我就不打了，打这个定义还是挺累的，符号太多了
下面给你证明 “| |表示绝对值哈 a 表示 2分之根号二
证：由于 |f(x)-A|=|sinx-a|...
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楼主你是说 这个定理吧：任意数ε>0，存在一个正整数N，当n>=N时，恒有
/Xn-a/<ε 则 limXn=a（X趋向无穷），这个是数列极限的定义。函数极限的定义不是这个。具体的楼主自己去看高等数学上，具体的我就不打了，打这个定义还是挺累的，符号太多了
下面给你证明 “| |表示绝对值哈 a 表示 2分之根号二
证：由于 |f(x)-A|=|sinx-a|,为了使 |f(x)-A|<ε，
只要 |sinx-a|<ε
所以，任意数ε>0,总可取δ=ε，当0<|sinx-a|<δ=ε时，
能使不等式|f(x)-A|=|sinx-a|<ε成立，所以 lim sinx=a （x趋向π/4）
a=二分之根号二
这个就是函数极限的定义证明
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这有什么好证明的，sinx在π/4处是光滑的曲线，连续可导。左极限等于函数值，右极限也等于函数值，左极限等于右极限等于函数值sinπ/4=1.414/2