如图所示,已知三角形ABC的三个顶点都在圆上,AD平分角BAC交BC边于D,交圆O上一点E,过E作弦EF,使EF=AC,EF与AB位置关系如何?为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:23:33
如图所示,已知三角形ABC的三个顶点都在圆上,AD平分角BAC交BC边于D,交圆O上一点E,过E作弦EF,使EF=AC,EF与AB位置关系如何?为什么?
如图所示,已知三角形ABC的三个顶点都在圆上,AD平分角BAC交BC边于D,交圆O上一点E,过E作弦EF,使EF=AC,EF与AB位置关系如何?为什么?
如图所示,已知三角形ABC的三个顶点都在圆上,AD平分角BAC交BC边于D,交圆O上一点E,过E作弦EF,使EF=AC,EF与AB位置关系如何?为什么?
EF与AB位置关系是平行,即 EF//AB.
理由如下
∵EF=AC
∴弧AFC=弧ECF（同一圆中,等弦对等弧）①
又 弧AF=弧ADC-弧FC,弧EC=弧ECF-弧FC ②
由①②得 弧AF=弧EC
又∠AEF的度数=1/2弧AF度数(圆周角度数等于所对应弧度数的一半)③
∠EAC的度数=1/2弧EC度数(圆周角度数等于所对应弧度数的一半)④
由③④得 ∠AEF=∠EAC ⑤
又 AD平分角BAC交BC边于D,交圆O上一点E
从而∠BAE=∠EAC ⑥
由⑤⑥得 ∠AEF=∠BAE
∴EF//AB(内错角相等,两直线平行).
证BA平行于EF
连接EO FO AO CO
因为圆O，所以EO=FO=AO=CO
因为AC=EF，所以等腰三角形AOC与EOF全等，且AOE是等腰三角形
所以角OEF=OAC且角OEA=OAE
所以角AEF=EAC
因为AD平分角BAC，所以角BAE=EAC
所以角BAE=EAC=AEF
所以BA平行于EF
平行，因为EF=AC
所以弧AC=弧EF
所以弧AE-弧AC=弧AE-弧AF, 即弧EC=弧AF
同弧所对的圆周角相等，所以角AEF=角EAC
因为AD平分角BAC交BC边于D 所以角BAE=角EAC
所以角AEF=角BAE
内错角相等两直线平行
平行。
因为EF=AC，所以弧ECF=弧AFC，因此弧AF=弧CE，
因为AE平分角BAC，所以弧CE=弧BE
因此弧BE=弧AF
所以AB//EF
证明：EF//AB.因为EF=AC所以弧EF=弧AC，而FC为公共弧，所以弧AF=弧EC，所以LAEF=LEAC,而AD平分LBAC,所以LEAC=LBAE =>LBAE=LAEF,所以EF//AC(内错角相等，两直线平行）