求解∫(3sinx+2cosx)/(5sinx+4cosx)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 01:42:41
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这种题目有一个通用的解法
令3sinx+2cosx=A(5sinx+4cosx)+B(5sinx+4cosx)'
整理得
3sinx+2cosx=(5A-4B)sinx+(4A+5B)cosx

5A-4B=3
4A+5B=2
解得
A=23/41,B=-2/41
所以
∫(3sinx+2cosx)/(5sinx+4cosx)dx
=∫[23/41(5sinx+4cosx)-2/41(5sinx+4cosx)']/(5sinx+4cosx)dx
=∫[23/41-2/41(5sinx+4cosx)'/(5sinx+4cosx)]dx
=23x/41-2/41ln(5sinx+4cosx)+C

运用洛比达法则,很容易的上下同时除以cosx,得到:(3sinx-2cosx)/(5sinx+4cosx)=(3tanx-2)/(5tanx+4)