有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:43:22
有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
有关椭圆的1题.1
等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
设B是椭圆E的左焦点,则有B(-c,0)(c^=a^-b^,且c>0)
而C则是椭圆E的右焦点,根据椭圆的对称性,可知BC的中垂线就是y轴
连接OD
根据题意,等腰△ABC中,底边时BC,则A是顶点,根据等腰三角形性质,可知A必在底边BC的中垂线上,由此可知,A点必在y轴上!∴其横坐标xA=0
设D(m,n),D为AB中点,根据中点公式,易得：
m=(xB+xA)/2=(-c+0)/2=-c/2 ①
∠AOB=90°,D为AB中点,可知OD=BD
于是可得：∠DOB=∠ABC
取OB中点E,连接DE,易证DE⊥OB
且|OE|=|OB|/2=c/2 ②
cos∠ABC=cos∠DOB=|OE|/|OD| ③
D在椭圆E上,将D(m,n)代入椭圆x^/a^+y^/b^=1中,化简可得：
n^=b^-(b^/a^)*m^
m^+n^=b^-(b^/a^)*m^+m^=[(a^-b^)/a^]*m^+b^=(c^/a^)m^+(a^-c^)
将e=c/a,c=ae,以及①代入,得：
m^+n^=e^*(-c/2)^+(a^-a^e^)=e^c^/4 +a^-a^e^=e^*(a^e^)/4 +a^-a^e^
=(a^/4)*[e^4 -4e^+4]
=(a/2)^ * (2-e^)^
根据坐标的几何含义,可知：
|OD|=√(m^+n^)=(a/2)*(2-e^) ④
由③式：
cos∠ABC=|OE|/|OD|
代入②,④,可得：
cos∠ABC=(c/2)/[(a/2)*(2-e^)]
=(c/a)/(2-e^)
=e/(2-e^)