一道三角函数的题,在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 20:24:52
一道三角函数的题,在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.一道三角函数的题,在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.一道三角函数的题,在三角形ABC

一道三角函数的题,在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.
一道三角函数的题,
在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.

一道三角函数的题,在三角形ABC中,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值.
sinA +sinC = 2sinB
2sin[(A+C)/2] * cos[(A-C)/2] = 2sinB
sin[(A+C)/2] * cos(π/6) = sinB
因为A + B + C = π
所以:(A+C)/2 = π/2 - B/2
cos(B/2) * √3/2 = 2sin(B/2)cos(B/2)
显然B/2不等于π/2,cos(B/2)不等于0
所以:
sin(B/2) = √3/4
cos(B/2) = √13/4
sinB = 2sin(B/2)cos(B/2) = √39/8
参考:
因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①
由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°,A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2一定是锐角,
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8

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