已知a b c是△abc的三边长,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 07:02:17
已知a b c是△abc的三边长,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²
已知a b c是△abc的三边长,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²
已知a b c是△abc的三边长,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=【(a²+b²-c²)+2ab】【(a²+b²-c²)-2ab】
=【a²+b²+2ab-c²】【a²+b²-2ab-c²】
三角形两边之和大于第三边
∵a+b>c
∴(a+b)²>c²
∴a²+b²+2ab-c²>0
三角形两边之差小于第三边
∵a-b<c
∴(a-b)²<c²
∴a²+b²-2ab-c²<0
∴【(a²+b²-c²)+2ab】【(a²+b²-c²)-2ab】<0
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
三角...
全部展开
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
三角形两边之和>第三边 a+b-c>0 a-b+c>0 a-b-c<0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
(a²+b²-c²)²-4a²b²<0
(a²+b²-c²)²<4a²b²
收起
C∈(0,π)——》cosC∈(-1,1)——》cos^2C∈[0,1)
由余弦定理:
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
——》cos^2C=(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2<1
——》(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0。