求解下列一阶线性微分方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 03:27:01
求解下列一阶线性微分方程
求解下列一阶线性微分方程
求解下列一阶线性微分方程
解法一：（全微分法）
∵y'-2y/x=x^3 ==>xy'-2y=x^4
==>xdy-2ydx=x^4dx
==>x²dy-2xydx=x^5dx
==>x²dy-yd(x²)=x^5dx
==>[x²dy-yd(x²)]/x^4=xdx
==>d(y/x²)=d(x²/2)
==>y/x²=x²/2+C (C是积分常数)
==>y=x^4/2+Cx²
∴原方程的通解是y=x^4/2+Cx² (C是积分常数).
解法二：（常数变易法）
∵齐次方程y'-2y/x=0 ==>dy/dx-2y/x=0
==>dy/y=2dx/x
==>ln|y|=2ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx²
∴此齐次方程的通解是y=Cx² (C是积分常数)
∴设原方程的通解为 y=C(x)x² (C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)x²+2xC(x)
代入原方程整理得C'(x)=x ==>C(x)=x²/2+C (C是积分常数)
∴ y=C(x)x²=(x²/2+C)x²=x^4/2+Cx²
∴原方程的通解是y=x^4/2+Cx² (C是积分常数).
为什么我今天才看到图片连接。。。
这个问题嘛。。。y'=x^3+y*(2/x)
这个其实就是一个一阶线性方程。利用常易变换法就是了。。。或者直接整理下再配一个积分因子也行。
∵齐次方程y'-2y/x=0 ==>dy/dx-2y/x=0
==>dy/y=2dx/x
==>ln|y|=2ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx²
∴...
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∵齐次方程y'-2y/x=0 ==>dy/dx-2y/x=0
==>dy/y=2dx/x
==>ln|y|=2ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx²
∴此齐次方程的通解是y=Cx² (C是积分常数)
∴设原方程的通解为 y=C(x)x² (C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)x²+2xC(x)
代入原方程整理得C'(x)=x ==>C(x)=x²/2+C (C是积分常数)
∴ y=C(x)x²=(x²/2+C)x²=x^4/2+Cx²
∴原方程的通解是y=x^4/2+Cx² (C是积分常数)。
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