菲涅耳公式推导时利用的边值关系为什么是B和D法向分量连续呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 08:10:56
菲涅耳公式推导时利用的边值关系为什么是B和D法向分量连续呢?
菲涅耳公式推导时利用的边值关系为什么是B和D法向分量连续呢?
菲涅耳公式推导时利用的边值关系为什么是B和D法向分量连续呢?
麦克斯韦方程组里面有D的散度等于自由电荷体密度.界面上取一个小扁盖子的体积.由微积分中的高斯定理得到D的散度的体积积分等于D在扁盖子面上的封闭曲面积分.由于盖子很薄,于是也就等于D1、D2各自点乘外法向,再乘上扁盖子的面积（盖子边忽略）.体积元的外法向在一侧与界面法向同向,而在另一侧则相反.于是式子继续变为D1-D2点乘界面法向再乘上扁盖子的面积.
由于扁盖子中（即界面两侧）无自由电荷（电荷全是极化电荷）,所以电荷的体积积分为零,即D的散度的体积积分为零,故D1-D2点乘界面法向为零（因为同侧面积相比,小扁盖子的底面积不可忽略为零）,数学表述就是这样.形象表述就是“D法向分量连续”.
同时还要注意到麦克斯韦方程组的另一个式子就是B的散度为零.利用同上面完全一样的数学推导,得到类似的结果.
另外由麦克斯韦方程组的另外两个方程：E的旋度等于B对时间的负导数、H的旋度等于D对时间的负导数加上自由电流密度.再取同样的体积元,再取这个小扁盖子的一个沿直径和高的截面,根据数学上的斯托克斯公式：E旋度的开放曲面积分等于E在开放曲面边界上的环路积分.由于盖子很薄,于是也就等于E1、E2各自叉乘外法向（这种叉乘实际上意义仅限于取与法向垂直即与直径方向相同的分量）,再乘上扁盖子的底面直径（盖子高忽略）.体积元的外法向在一侧与界面法向同向,而在另一侧则相反.于是式子继续变为E1-E2叉乘界面法向再乘上扁盖子的直径.
由于扁盖子中（即界面两侧）无交变的磁感应强度（因为稳恒）,所以磁感应强度随时间的变化的开放曲面积分为零,即E的旋度的开放曲面积分为零,故E1-E2叉乘界面法向为零（因为同侧面高相比,小扁盖子的直径不可忽略为零）,形象表述就是“E切向分量连续”.用能量守恒,即假想这个环路的做功,由于做功为零,得到E1、E2的切向分量为零也可以,但是也要用到“无交变的磁感应强度”这个条件,否则就会产生涡旋电场,这时电场不再是保守场.从这点也可以看出围绕麦克斯韦方程组建立的电动力学和围绕库仑定律、电磁感应定律建立的电磁学的统一性.
另外根据麦克斯韦方程组最后一个方程,利用上面的数学推导过程,另外注意到D本身为零,因而D随时间的偏导为零.同时因为没有传导电流,所以D随时间的偏导和传导电流的和,其开放曲面积分也为零.从而可以得到H1-H2叉乘界面法向为零,即“H切向分量连续”.
楼主学电动力学了吧,这个应该是和菲涅尔公式一起学的.