如何证明直线上的点和面上的点一样多R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，但不是一一对应啊。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 17:31:13
如何证明直线上的点和面上的点一样多R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，但不是一一对应啊。
如何证明直线上的点和面上的点一样多
R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，但不是一一对应啊。
如何证明直线上的点和面上的点一样多R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，但不是一一对应啊。
我小时候看过一本书叫《从0到无穷大》很好的数学启蒙书.
这个是其中三阶无穷大的问题.整数的个数是阿来夫0,线、面、体上的点书是阿来夫1,空间曲线的总数是阿来夫2.
证明无穷大等价,就是你给出一个点,我在另一个里能找到一个和它对应.反过来也能找到对应.
如线上一个点,坐标为 1234.56789,则将其按位数奇偶分开,得到
13.579 和 24.68.这样线上的任意点都可以在面上找到,反过来也一样,比如将 111222.333444 和 5556.12 合并为 101015252526.313230404040
不妨设一个圆，x^2+y^2=R^2,
随着R的不断增大，圆不断扩张，而且R与圆之间一一对应，
如此，
R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，
而圆与全体平面上的点对应，（当R=0时，圆收为一个点，即原点），
所以直线上的点和面上的点一一对应，即一样多...
全部展开
不妨设一个圆，x^2+y^2=R^2,
随着R的不断增大，圆不断扩张，而且R与圆之间一一对应，
如此，
R可以取遍全体实数，与数轴即直线上的点对应，
而圆与全体平面上的点对应，（当R=0时，圆收为一个点，即原点），
所以直线上的点和面上的点一一对应，即一样多
收起
实际上是证明从R到R²有一个双射。由于f：R→(0,1)其中
f(x)=(1/π)(arctan(r)+(π/2)) 是一个双射，因此仅证明(0,1)到(0,1)×(0,1)有一个双射即可。
显然(0,1)到(0,1)×(0,1)有单射 t →(t,t),反过来的构造比较复杂，要用到连分数，可以得到(0,1)×(0,1)到(0,1)的一个单射。这样我们就可以运用Schro...
全部展开
实际上是证明从R到R²有一个双射。由于f：R→(0,1)其中
f(x)=(1/π)(arctan(r)+(π/2)) 是一个双射，因此仅证明(0,1)到(0,1)×(0,1)有一个双射即可。
显然(0,1)到(0,1)×(0,1)有单射 t →(t,t),反过来的构造比较复杂，要用到连分数，可以得到(0,1)×(0,1)到(0,1)的一个单射。这样我们就可以运用Schroder-Bernstein 定理得到从(0,1)到(0,1)×(0,1)的双射。
收起