正方体的8个顶点两两相连,可组成多少对异面直线?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 13:29:26
正方体的8个顶点两两相连,可组成多少对异面直线?
正方体的8个顶点两两相连,可组成多少对异面直线?
正方体的8个顶点两两相连,可组成多少对异面直线?
把正方体上直线分为三类,棱边,面对角线,体对角线
那么异面直线的种类可能有六种：
（1）棱边与棱边
随便选1条棱边,与它异面的棱边有4条,因为一对异面直线算了两次,故这种类型的异面直线有12×4÷2=24对
（2）面对角线与面对角线
每条面对角线有另外5条面对角线与之异面,同理,这种类型的异面直线有12×5÷2=30对
（3）体对角线与体对角线
0对
（4）面对角线与棱边
选定1条面对角线,与之异面的棱边有6条,这种类型的异面直线有12×6÷2=36对
（5）体对角线与棱边
选定1条体对角线,与之异面的棱边有6条,这种类型的异面直线有4×6÷2=12对
（6）面对角线与体对角线
选定1条体对角线,与之异面的面对角线有6条,这种类型的异面直线有4×6÷2=12对
故正方体内共有异面直线 24+30+0+36+12+12=114对
方法一，正方体任意两条对角线必相交；包含一条对角线的有，(6+6)*4=48对；不含任何一条对角线的，即都位于6个面上的，两条面对角线的有5*12/2=30对，一条面对角线和一条边的有6*12=72，两条边的有4*12/2=24，所以共有48+30+72+24=174对异面直线。
方法二、总共有8*7/2=28条连线，总共有28*27/2=378对，共顶点的有(7*6/2)*8=168对，...
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方法一，正方体任意两条对角线必相交；包含一条对角线的有，(6+6)*4=48对；不含任何一条对角线的，即都位于6个面上的，两条面对角线的有5*12/2=30对，一条面对角线和一条边的有6*12=72，两条边的有4*12/2=24，所以共有48+30+72+24=174对异面直线。
方法二、总共有8*7/2=28条连线，总共有28*27/2=378对，共顶点的有(7*6/2)*8=168对，共面心的有6对，共体心的有4*3/2=6对，平行的有1*12/2+3*12/2=24对，剩下的都是异面的，共有378-168-6-6-24=174对异面直线。
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