一道有关函数周期性的题目求解y=f(x),x∈R是周期为4的偶函数,且f(x)=x^2+1,x属于[0,2],求f(5),f(7),f(2007),f(2008).

一道有关函数周期性的题目求解y=f(x),x∈R是周期为4的偶函数,且f(x)=x^2+1,x属于[0,2],求f(5),f(7),f(2007),f(2008).
一道有关函数周期性的题目求解
y=f(x),x∈R是周期为4的偶函数,且f(x)=x^2+1,x属于[0,2],求f(5),f(7),f(2007),f(2008).

一道有关函数周期性的题目求解y=f(x),x∈R是周期为4的偶函数,且f(x)=x^2+1,x属于[0,2],求f(5),f(7),f(2007),f(2008).
题目关于y=f(x)告诉我们两个信息
首先:y=f(x)是偶函数 则有f(x)=f(-x) 所以 设-2≤x≤0 则0≤-x≤2
f(x)=f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1 (x属于[-2,0])
其次:y=f(x),x∈R周期为4 =>f(x)=f(x-4N)=(x+4N) (N是自然数)
有了上面的两点 这些都很好求了
f(5)=f(1+4)=f(1)=1^2+1=2
f(7)=f(8-1)=f(2*4-1)=f(-1)=(-1)^2+1=2
f(2007)=f(2008-1)=f(4*502-1)=f(-1)=(-1)^2+1=2
f(2008)=f(4*502+0)=f(0)=0^2+1=1
所以f(5)=2 f(7)=2 f(2007)=2 f(2008)=1

周期为4，所以f（5）=f(4+1)=f(1)=1*1+1=2
f（7）=f(3)=f（-1）由于是偶函数，f（-1）=f（1）
所以f（7）=f（1）=2
f（2007）=f（3）=f(-1)=2
f(2008)=f(0)=0+1=1

周期函数有:f(x)=f(x+nT)=f(x-nT) T为周期.n为自然数
偶函数有:f(x)=f(-x)
所以,f(5)=f(1)=2 ;
f(7)=f(-7)=f(1)=2 ;
f(2007)=f(7)=2 ;
f(2008)=f(0)=1 ;

上面回答显然不是特别严谨，x的范围是[0，2]那么f(-1)就不成立
因为周期T=4，那么f(5)=f(5-4)=f(1)=1^2+1=2
f(7)=f(7-4-4)=f(-1),由于f(x)=x^2+1是关于y轴对称的偶函数，则f(-1)=f(1)=2
f(2007)=f(2000+7)，由于2000是4的倍数，则f(2007)=f(7)=f(-1)=f(1)=2

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上面回答显然不是特别严谨，x的范围是[0，2]那么f(-1)就不成立
因为周期T=4，那么f(5)=f(5-4)=f(1)=1^2+1=2
f(7)=f(7-4-4)=f(-1),由于f(x)=x^2+1是关于y轴对称的偶函数，则f(-1)=f(1)=2
f(2007)=f(2000+7)，由于2000是4的倍数，则f(2007)=f(7)=f(-1)=f(1)=2
同理，f(2008)=f(8)=f(8-4-4)=f(0)=1
要充分利用条件，既要注意到周期性，又要通过定义域来以偶函数的性质来求解

收起

因为f（x）是偶函数，所以f（-x）＝f（x），而函数x^2+1满足这个性质，所以在一个 周期内【-2，2】函数的表达式都是f（x）＝x*x+1，所以f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝1*1+1＝2，f（7）＝f（2*4-1）＝f（-1)=(-1)^2+1=2,f（2007）＝f（4*502-1）＝f（-1）＝2，f（2008）＝f（4*502+0）＝f（0)=1
也就是将自变量经过周期平...

全部展开

因为f（x）是偶函数，所以f（-x）＝f（x），而函数x^2+1满足这个性质，所以在一个 周期内【-2，2】函数的表达式都是f（x）＝x*x+1，所以f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝1*1+1＝2，f（7）＝f（2*4-1）＝f（-1)=(-1)^2+1=2,f（2007）＝f（4*502-1）＝f（-1）＝2，f（2008）＝f（4*502+0）＝f（0)=1
也就是将自变量经过周期平移，移到函数的定义域【-2，2】，中。

收起

f(5)=2
f(7)=2
f(2007)=2
f(2008)=1
将0，1，2分别代入f(x)=x^2+1，得f(0）=1,f(1)=2,f(2)=5，因为y=f(x)是周期为4的偶函数，所以y=f(x)的图象关于Y轴对称…………只要你画图就能看出f(5),f(7),f(2007),f(2008)的植
！

f(5)=f(1)=2
f(7)=f(-1)=f(1)=2
f(2007)=f(-1)=2
f(2008)=f(0)=1
都是利用周期性

又来迟了