解关于x的不等式 log2(x-1)>log4[a(x-2)+1] (a>1).2和4是底数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 13:02:25
解关于x的不等式 log2(x-1)>log4[a(x-2)+1] (a>1).2和4是底数
解关于x的不等式 log2(x-1)>log4[a(x-2)+1] (a>1).
2和4是底数
解关于x的不等式 log2(x-1)>log4[a(x-2)+1] (a>1).2和4是底数
定义域
x-1>0,x>1
a(x-2)+1>0
x-2>-1/a
x>2-1/a
a>1
0<1/a<1
所以1<2-1/a<2
所以定义域x>2-1/a
log4N=lgN/lg4=lgN/2lg2=(1/2)log2N
所以不等式是log2(x-1)>(1/2)log2[a(x-2)+1]
2log2(x-1)>log2[a(x-2)+1]
log2(x-1)^2>log2[a(x-2)+1]
(x-1)^2>a(x-2)+1
x^2-2x+1>ax-2a+1
x^2-(a+2)+2a>0
(x-2)(x-a)>0
若1
若a=2
则(x-2)^2>0
x不等于2
若a>2
则2-1/a
定义域x>2-1/a
log2(x-1)>(1/2)log2[a(x-2)+1]
2log2(x-1)>log2[a(x-2)+1]
log2(x-1)^2>log2[a(x-2)+1]
(x-1)^2>a(x-2)+1
x^2-2x+1>ax-2a+1
x^2-(a+2)+2a>0
(x-2)(x-a)>0
log2...
全部展开
定义域x>2-1/a
log2(x-1)>(1/2)log2[a(x-2)+1]
2log2(x-1)>log2[a(x-2)+1]
log2(x-1)^2>log2[a(x-2)+1]
(x-1)^2>a(x-2)+1
x^2-2x+1>ax-2a+1
x^2-(a+2)+2a>0
(x-2)(x-a)>0
log2(x-1)>(1/2)log2[a(x-2)+1]
2log2(x-1)>log2[a(x-2)+1]
log2(x-1)^2>log2[a(x-2)+1]
(x-1)^2>a(x-2)+1
x^2-2x+1>ax-2a+1
x^2-(a+2)+2a>0
(x-2)(x-a)>0
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同上两位，打这么多字真不容易。
原不等式等价于
x-1>0
a(x-2)+1>0
(x-1)^2>a(x-2)+1 (a>1) (4写成2^2，log前提出1/2，除到>号左边，再把2方到(x-1)上
上边 1 式 ：x>1
上边 2 式 ：ax-2a+1>0 x>2-1/a>1 (因为a>1,所以1/a<1)
综合1、2式 ： x>2-1/a （4式）
前边...
全部展开
原不等式等价于
x-1>0
a(x-2)+1>0
(x-1)^2>a(x-2)+1 (a>1) (4写成2^2，log前提出1/2，除到>号左边，再把2方到(x-1)上
上边 1 式 ：x>1
上边 2 式 ：ax-2a+1>0 x>2-1/a>1 (因为a>1,所以1/a<1)
综合1、2式 ： x>2-1/a （4式）
前边 3 式 ：(x-2)(x-a)>0
分类讨论：
若a>2,则3式：x<2或x>a
综合4式 ：
若1
综合4式 ： （a不=0时，2-1/a
当a>2时，2-1/a
当1
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用换底公式:
log4[a(x-2)+1]=log2[a(x-2)+1]/log2(4)=log2[a(x-2)+1]/2;
你的不等式就等价与:
log2((x-1)^2)>log2[a(x-2)+1]
因为y=log(x)为递增函数，不等式有可以等价为：
(x-1)^2>a(x-2)+1==>
(x-1)^2-a(x-1)+a-1>0;
...
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用换底公式:
log4[a(x-2)+1]=log2[a(x-2)+1]/log2(4)=log2[a(x-2)+1]/2;
你的不等式就等价与:
log2((x-1)^2)>log2[a(x-2)+1]
因为y=log(x)为递增函数，不等式有可以等价为：
(x-1)^2>a(x-2)+1==>
(x-1)^2-a(x-1)+a-1>0;
考虑以x-1为变元的二次函数其$=b^2-4ac=a^2-4(a-1)=(a-2)^2>0
所以命题得证。
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