多元函数积分计算设D是由y=√(1-x^2),y=x,y=0所围成的第一象限的部分,则 ∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy=?

多元函数积分计算设D是由y=√(1-x^2),y=x,y=0所围成的第一象限的部分,则 ∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy=?
多元函数积分计算
设D是由y=√(1-x^2),y=x,y=0所围成的第一象限的部分,则 ∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy=?

多元函数积分计算设D是由y=√(1-x^2),y=x,y=0所围成的第一象限的部分,则 ∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy=?
利用极坐标变换：
x=rcosa
y=rsina
其中,0≤r≤1,0≤a≤π/4,记为D'
因此,
∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy
=∫ ∫ (D') sina/(rcos^2a) * r dadr
=∫(0,1) dr * ∫(0,π/4) sina/cos^2a da
=∫(0,π/4) sina/cos^2a da
=∫(0,π/4) -1/cos^2a d(cosa)
=1/cosa | (0,π/4)
=√2-1
有不懂欢迎追问

一先画出积分区域D。极坐标下可表示为0≤r≤1. 0≤θ≤∏/4 【直角坐标系中，0≤x²+y²≤1. 0≤x≤y】
∴ ∫ ∫ (D) (y/x)²dxdy
=∫(0→∏/4)dθ∫(0→1) sin²θ/cos²θ rdr
=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ ∫(0→1) rdr

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一先画出积分区域D。极坐标下可表示为0≤r≤1. 0≤θ≤∏/4 【直角坐标系中，0≤x²+y²≤1. 0≤x≤y】
∴ ∫ ∫ (D) (y/x)²dxdy
=∫(0→∏/4)dθ∫(0→1) sin²θ/cos²θ rdr
=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ ∫(0→1) rdr
=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ •1/2r²|(0→1)
=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ •1/2r²|(0→1)
=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ •1/2
=1/2∫(0→∏/4)sin²θ/cos²θdθ
=1/2∫(0→∏/4)(1-cos²θ)/cos²θdθ
=1/2[∫(0→∏/4)1/cos²θdθ-∫(0→∏/4)1dθ]
=1/2[tanθ|(0→∏/4)-θ|(0→∏/4)]
=1/2[1-∏/4]
=1/2-∏/8


二先画出积分区域D。D既是X-型，也是Y-型.
如果将D看成Y-型.，则D可表示为：y≤x≤ √(1-y²) ,0≤y≤√2/2.
【联立y=√(1-x²),y=x,，求出交点x=√2/2,y=√2/2】
于是得先对x后对y的二次积分：
∫ ∫ (D) (y/x)²dxdy
=∫ [∫ (D) (y/x)² dx]dy
=∫(0→√2/2)dy∫(y→ √(1-y²) )(y/x)² dx
=∫(0→√2/2)dy[y²•∫(y→√(1-y²) ))1/x² dx]
=∫(0→√2/2)dy•y²•(-1/x)|(y→√(1-y²) )
=∫(0→√2/2)dy•y²•(-1/√(1-y²) +1/y)
=∫(0→√2/2)y²•(-1/√(1-y²)+1/y )dy
=∫(0→√2/2)(- y²/√(1-y²)+y)dy
= - ∫(0→√2/2)y²/√(1-y²)dy+∫(0→√2/2)ydy①
又 -∫(0→√2/2)y²/√(1-y²)dy
= -∫(0→√2/2)-yd√（1-y²）
= ∫(0→√2/2)yd√（1-y²）
= （y√（1-y²）|(0→√2/2)-∫(0→√2/2)√（1-y²）dy
= (1/2-∏/8-1/4)）
=1/4-∏/8

∴①= 1/4-∏/8 +1/2y²|(0→√2/2)
=1/2 - ∏/8
=（4-∏）/8



三如果将D看成X-型，由于D的上侧边界是由y=√(1-x^2),y=x两条曲线组成，故D不能用同一组不等式表示，为此，用直线x=√2/2将D分成两部分D1，D2.表示为D1:0≤y≤x,0≤x≤√2/2. D2:0≤y≤√(1-x²),√2/2≤x≤1
于是得先对y后对x的二次积分：
∫ ∫ (D) (y/x)² dxdy
=∫ [∫ (D) (y/x)² dy]dx
=∫(0→√2/2)dx∫(0→y) (y/x)²dy+∫(√2/2→1)dx∫(0→√(1-y²)) (y/x)² dy
=∫(0→√2/2)dx•[1/x²•∫(0→x)) y² dy]+∫(√2/2→1)dx•[1/x²•∫(0→√(1-y²)) y² dy]
=∫(0→√2/2)dx•1/x²•(1/3•y³)|(0→x)+∫(√2/2→1)dx•[1/x²•(1/3•y³)|(0→√(1-x²))
=∫(0→√2/2)dx•1/x²•1/3•x³+∫(√2/2→1)dx•1/x²•1/3•√(1-x²)³
=1/3•∫(0→√2/2)xdx+1/3∫(√2/2→1)√(1-x²)³/x²dx②

又∫(√2/2→1)√(1-x²)³/x²dx （令x=sint.当x=√2/2时，t=∏/4,当x=1时。t=∏/2）
= ∫ (∏/4→∏/2) √(1-sin²t)³/sin²tdsint
= ∫(∏/4→∏/2)cos³t/sin²t •costdt
=∫(∏/4→∏/2)(cost)^4/sin²t dt
=∫ (∏/4→∏/2)(1-sin²t)²/sin²t dt
=∫ (∏/4→∏/2)(1-2sin²t+(sint)^4)/sin²t dt
=∫(∏/4→∏/2)(1/sin²t - 2+ sin²t)dt
=∫(∏/4→∏/2)1/sin²t dt -∫ (0→∏/4)2dt+ 1/2∫(1-cos2t)dt
=∫(∏/4→∏/2)1/sin²t dt -∫ (0→∏/4)2dt+ 1/2∫(0→∏/4)dt-1/4∫(0→∏/4)cos2td2t
=-cot | (∏/4→∏/2)-2t|(∏/4→∏/2)+1/2t|(∏/4→∏/2)-1/4sin2t|(∏/4→∏/2)
=1-∏/2+∏/8+1/4
=5/4-3∏/8

∴②=1/3(5/4-3∏/8)+1/3•∫(0→√2/2)xdx
=1/3(5/4-3∏/8)+1/12
=1/2-∏/8


PS:将区域D看成Y-型会相对简便，因为不用分段讨论。若区域Dx,y型均可，若在考试中最好判断下哪种情况不用分段讨论，再决定用何种型。

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