在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的终点,且AC=BD,试证明EFGH是平面图形,并分析四边形EFGH的性质.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 23:37:25
在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的终点,且AC=BD,试证明EFGH是平面图形,并分析四边形EFGH的性质.
在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的终点,且AC=BD,试证明EFGH是平面图形,并分析四边形EFGH的性质.
在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的终点,且AC=BD,试证明EFGH是平面图形,并分析四边形EFGH的性质.
首先,纠正你题目中的“终点”应该改为“中点”.下面来证明.
因为E、F分别是AB、BC的中点,所以EF平行且等于AC的一半.同理GH平行且等于AC的一半.所以EF平行且等于GH,由于两条平行线确定一个平面,所以EFGH是平面图形.又由于对边平行且相等的四边形是平行四边形,所以四边形EFGH是平行四边形.同理可证：EH平行且等于GF,且等于BD 的一半.而BD=AC,所以GF=GH.因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以四边形EFGH是菱形.
任取一组对边，放到大的三角形中，都是中位线，平行与同于直线，所以两组对边互相平行，是平行四边形，自然是平面图形了
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点；
所以EF//AC//HG=>EF//HG,确定一个平面α，另外两边EH、FG与两平行边都有交点，也就是每条直线都有两点在平面内，所以EH、FG也就在平面α内，则EFGH是平面图形
(1)
EF//AC//HG=>EF//HG,EH//BD//FG=>EH//FG,所以EFGH是平行四边形
又AC//BD，所以EF=...
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E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点；
所以EF//AC//HG=>EF//HG,确定一个平面α，另外两边EH、FG与两平行边都有交点，也就是每条直线都有两点在平面内，所以EH、FG也就在平面α内，则EFGH是平面图形
(1)
EF//AC//HG=>EF//HG,EH//BD//FG=>EH//FG,所以EFGH是平行四边形
又AC//BD，所以EF=HG=EH=FG,所以四边形EFGH是菱形
(2)
若AC与BD空间垂直，则可以推出四边形EFGH是正方形
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