请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 10:47:08
请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=
还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
∫(0→π) sin³t dt
= ∫(0→π) sin²t · sint dt
= ∫(0→π) (1 - cos²t) d(- cost)
= ∫(0→π) (cos²t - 1) d(cost)
= [(1/3)cos³t - cost]：(0→π)
= [(1/3)(- 1) - (- 1)] - [1/3 - 1]
= 4/3
∫ (sinx)^n dx,当n是奇数时,∫ (sinx)^(n - 1) · sinx dx = - ∫ (sinx)^(n - 1) d(cosx)
= - ∫ (sin²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)
= - ∫ (1 - cos²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)
如果令u = cosx
= - ∫ (1 - u²)^[(n - 1)/2] du,n - 1是偶数
= ...拆开变为多项式然后积分
当n是偶数时,分别用公式cos2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x和sin2x = 2sinxcosx化简
用降幂公式
∫ sinⁿx dx = (- cosx · sinⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ sinⁿ⁻²x dx
∫ cosⁿx dx = (sinx · cosⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ cosⁿ⁻²x dx
如果是定积分的话,又有另外一些规律
∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx,n > 1
当n是奇数时：= (n - 1)!/n!= (n - 1)/(n - 2) · (n - 3)/(n - 4) · ...· 3/4 · 1/2
当n是偶数时：= (n - 1)!/n!· π/2