设f(n)为关于n的k次多项式.数列An的首项a1=1前n项和微Sn对于任意正整数An+Sn=f(n)都成立(1)若 k=0求证An为等比数列(2)试确定所有自然数k使得An为等差数列
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 04:33:15
设f(n)为关于n的k次多项式.数列An的首项a1=1前n项和微Sn对于任意正整数An+Sn=f(n)都成立(1)若 k=0求证An为等比数列(2)试确定所有自然数k使得An为等差数列
设f(n)为关于n的k次多项式.数列An的首项a1=1前n项和微Sn对于任意正整数An+Sn=f(n)都成立(1)若 k=0求证An为等比数列(2)试确定所有自然数k使得An为等差数列
设f(n)为关于n的k次多项式.数列An的首项a1=1前n项和微Sn对于任意正整数An+Sn=f(n)都成立(1)若 k=0求证An为等比数列(2)试确定所有自然数k使得An为等差数列
an+sn=changshu=a(n+1)+s(n+1) an=2a(n+1)
a(n+1)/an=1/2
等比
2
an=a1+(n-1)d=(n-1)d+1
sn=(a1+an)n/2=n(n-1)d+n
an+sn=dn²+(-d+1+d)n+1-d=dn²+n+1-d
k=2
证明:(1)当k=0时,f(n)是一个常数(n的0次方)
因为对于任意正整数n,an Sn=f(n)都成立,所以当n=1时,a1=S1=1,f(n)=f(1)=2
那么,Sn=2-an
则,an=Sn-S[n-1]=(2-an)-(2-a[n-1])=a[n-1]-an
得:an/a[n-1]=1/2,故an=(1/2)^(n-1) (n∈N*)
(2)由(...
全部展开
证明:(1)当k=0时,f(n)是一个常数(n的0次方)
因为对于任意正整数n,an Sn=f(n)都成立,所以当n=1时,a1=S1=1,f(n)=f(1)=2
那么,Sn=2-an
则,an=Sn-S[n-1]=(2-an)-(2-a[n-1])=a[n-1]-an
得:an/a[n-1]=1/2,故an=(1/2)^(n-1) (n∈N*)
(2)由(1)可知,an=Sn-S[n-1]=[f(n)-an]-[f(n-1)-a[n-1]]
化简得:2an=a[n-1] f(n)-f(n-1)
当{an}为等差数列时,令公差为d,则an=a1 (n-1)d=dn 1-d
上式变为2(dn 1-d)=d(n-1) 1-d f(n)-f(n-1)
有f(n)-f(n-1)=dn 1
迭代可知f(n)=f(1) (dn 1) [d(n-1) 1] … (2d 1)=n 1 (2 n)(n
收起
k=2