用反正法证明:若方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则b^2-4ac>0大神们帮帮忙
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 13:23:12
用反正法证明:若方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则b^2-4ac>0大神们帮帮忙
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若方程 ax^2+bx+c=0 没有两个实数根,那么它的判别式必为 b^2< =4ac,(一式）,由a+b+c< 0,a > 0,可推得 a^2+ab+ac < 0,由上式得 4ac< (-4)*(a^2+ab),(二式）,由一,二式得 (-4)*(a^2+ab)-b^2 > 0,就是（2a+b)^2< 0,解得 a < (-b/2),（三式）,由三式和 a+b+c < 0,有 （-b/2)+b+c=b/2+c < 0,于是 c < (-b/2),(四式）,由三式和 a > 0 知 b < 0,由 b < 0 和四式知 c > 0,所以 4*（三式）*（四式）得：4ac < 4*(-b/2)*(-b/2)=b^2,(五式）,一式和五式相矛盾,那么判别式 b^2 < =4ac 不成立,这就反过来说明方程必有两个实数解,那么 b^2 > 4ac （六式）成立.由六式知 c > 0,由二式和六式得：b^2-((-4)*(a^2+ab)) > 8ac > 0,经整理：b^2-4a^2 > 4ab,解得 (-b)/a > 2,也是 A < (-b)/2,代入六式,得 c 0,X1,X2 同号,又由 X1 + X2 =(-b)/a >2 知 X1,X2 都大于零.由根与系数的关系有：(X1+X2)/ X1 * X2 =1/X1 +1/X2 =(-b)/ c > 2,如果 X1,X2 都大于 1 ,那么 1/X1 +1/X2 < 2,所以 X1,X2 中必有一个小于 1 .