设数列{an}中a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1公比为1/3的等比数列(1)求{an}的表达式(2){an}的前项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/13 01:32:58
设数列{an}中a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1公比为1/3的等比数列(1)求{an}的表达式(2){an}的前项和Sn
设数列{an}中a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1公比为1/3的等比数列(1)求{an}的表达式
(2){an}的前项和Sn
设数列{an}中a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1公比为1/3的等比数列(1)求{an}的表达式(2){an}的前项和Sn
1.
a1=1
a2-a1=1×(1/3)=1/3
{a(n+1)-an}是以1/3为首项,1/3为公比的等比数列.
a(n+1)-an=(1/3)(1/3)^(n-1)=1/3ⁿ
an-a(n-1)=1/3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=1/3^(n-2)
…………
a2-a1=1/3
累加
an -a1=1/3+1/3²+...+1/3^(n-1)=(1/3)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)=(1/2)[1-1/3^(n-1)]
an=a1+(1/2)[1-1/3^(n-1)]=3/2 -1/[2×3^(n-1)]
n=1时,a1=3/2 -1/(2×1)=3/2-1/2=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=3/2 -1/[2×3^(n-1)]
2.
Sn=a1+a2+...+an
=3n/2 -(1/2)[1/3^0+1/3+...+1/3^(n-1)]
=3n/2 -(1/2)×1×(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)
=3n/2 -(3/4)×(1-1/3ⁿ)
=3n/2 +1/[4×3^(n-1)] -3/4
a1=1
a2-a1=1/3
a3-a2=1/9
..........
an-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
以上等式相加得
an-a1=1+1/3+1/9+.....+(1/3)^(n-1)
an-1=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
an-1=3*[1-(1/3)^n]/2
an-1=3/2-(1/3)^(n-...
全部展开
a1=1
a2-a1=1/3
a3-a2=1/9
..........
an-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
以上等式相加得
an-a1=1+1/3+1/9+.....+(1/3)^(n-1)
an-1=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
an-1=3*[1-(1/3)^n]/2
an-1=3/2-(1/3)^(n-1)/2
an=5/2-(1/3)^(n-1)/2
sn=5/2-(1/3)^0/2+5/2-(1/3)^1+..............+5/2-(1/3)^(n-1)/2
=5n/2-1/2*[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=5n/2-3/4*[1-(1/3)^n]
=5n/2-3/4+(1/3)^(n-1)/4
收起