求平面x+2y+3z=1上最靠近坐标原点的点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 20:50:47
求平面x+2y+3z=1上最靠近坐标原点的点
求平面x+2y+3z=1上最靠近坐标原点的点
求平面x+2y+3z=1上最靠近坐标原点的点
平面外至平面最短距离就是该点至在平面射影的距离,
用空间点面距离公式,
原点至平面距离|OH|=|0+0+0-1|/√(1^2+2^2+3^2)=1/√14,
平面法向量n=(1,2,3),
经过原点垂直于平面的方向数为(1,2,3),
直线方程为:(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/3,
设垂足坐标H(x0,y0,z0),
参数方程为:x=t,y=2t,z=3t,
x0-0=t,y0-0=2t,z0-0=3t,
|OH|^2=t^2+(2t)^2+(3t)^2=14t^2,
14t^2=(1/√14)^2,
∴t=1/14,
x0=1/14,y0=1/7,z0=3/14,
∴平面上H点坐标为(1/14,1/7,3/14).为距离原点最近的点.
和坐标原点最靠近的就是在这个平面上的且与原点连线垂直平面的那个点。找出这个平面和三个坐标轴分别相交的三个点，用向量法写出这三点形成的向量三个，然后设这点的坐标为（a1，a2，a3），分别和这三个向量内积为0的，解出三个未知数既得。该点坐标为（1/14，1/7，3/14）...
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和坐标原点最靠近的就是在这个平面上的且与原点连线垂直平面的那个点。找出这个平面和三个坐标轴分别相交的三个点，用向量法写出这三点形成的向量三个，然后设这点的坐标为（a1，a2，a3），分别和这三个向量内积为0的，解出三个未知数既得。该点坐标为（1/14，1/7，3/14）
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题可以改为
minf:f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^(1/2) s.t x+2y+3z=1
由于f(x,y,z)中x、y，x、交换位置函数不变，那么当x=2y=3z时取得最值
x=1/3 y=1/6 z=1/9
得minf=7/18你也可以用拉格朗日函数法求偏导数解。