如图 在△ABC中,角BAC=90度,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG AF分别交DE于M N两点 求证：MN²=DM*EN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 19:04:19
如图 在△ABC中,角BAC=90度,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG AF分别交DE于M N两点 求证：MN²=DM*EN
如图 在△ABC中,角BAC=90度,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG AF分别交DE于M N两点 求证：MN²=DM*EN
如图 在△ABC中,角BAC=90度,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG AF分别交DE于M N两点 求证：MN²=DM*EN
证明：因为∠C=∠BDG(同为∠B余角)
∴RT△BDG∼RT△ECF
∴BG/EF=GD/FC⇒EF•DG=BG•FC
DG=EF=GF
∴(GF^2)=BG•FC-----------(1)
因为DE∥BC
∴DM/MN=BG/GF EN/MN=FC•GF
两式相乘DM•EN/(MN^2)=BG•CF/(GF^2)---------(2)
由(1)(2)可知：DM•EN/(MN^2)=1
∴(MN^2)=DM•EN
证明:∵EF∥/AB
∴FN/BG=CN/CG=MN/HG=CM/CH=EM/AH
∴FN/MN=BG/HG
FN/MN=BG/FG
∴MN/EM=HG/AH
MN/EM=EH/AH
又∵△FGB∽△AHE
∴BG/FG=EH/AH
那么FN/MN=MN/EM
∴EM×FN=MN的平方
证明:EF∥/AB,则FN/BG=CN/CG=MN/HG=CM/CH=EM/AH;
故:FN/MN=BG/HG,则FN/MN=BG/FG;………………………(1)
MN/EM=HG/AH,则MN/EM=EH/AH.………………………(2)
易证⊿FGB∽⊿AHE,则BG/FG=EH/AH.……………………(3)
观察(1),(2),(3)式可知:FN/MN=MN/EM.
所以:EM×FN=MN的平方