设E,F分别在矩形ABCD边BC和CD上.三角形ABE,三角形ECF,三角形FDA面积分别是a,b,c.求三角形AEF的面积S
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 12:56:11
设E,F分别在矩形ABCD边BC和CD上.三角形ABE,三角形ECF,三角形FDA面积分别是a,b,c.求三角形AEF的面积S
设E,F分别在矩形ABCD边BC和CD上.三角形ABE,三角形ECF,三角形FDA面积分别是a,b,c.求三角形AEF的面积S
设E,F分别在矩形ABCD边BC和CD上.三角形ABE,三角形ECF,三角形FDA面积分别是a,b,c.求三角形AEF的面积S
设矩形ABCD,宽CD=k,F点分宽DF=λk,FC=(1-λ)k
设高BC=h,E点分高BE=μh,EC=(1-μ)h
则a=(μhk)/2,b=[(1-λ)(1-μ)hk]/2,c=(λkh)/2
a+b+c=[(μ+λ)hk)]/2+[(1-(λ+μ)+λμ)hk]/2=[(1+λμ)hk]/2
S(⊿AFE)=hk-[(1+λμ)hk]/2=[2hk-(1+λμ)hk]/2=[(1-λμ)hk]/2
=a+b+c-λμhk
λμhk=(4ac)/(hk)
S=a+b+c-(4ac)/(hk) =a+b+c-(4ac)/(a+b+c+S)
解得S(⊿AFE)=根号下[(a+b+c)^2-4ac]
不妨设AB=X1,BE=x2,EC=x3,CF=x4,则FD=x1-x4,AD=x2+x3,由题意得
x1*x2=2a,x3*x4=2b,
(x1-x4)*(x2+x3)=2c,即x1*x3-x2*x4=2（b+c-a),
又x1*x3*x2*x4=4ab
代入x2*x4=x1*x3-2(b+c-a)得关于x1*x3的一元二次方程，即
(x1*x...
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不妨设AB=X1,BE=x2,EC=x3,CF=x4,则FD=x1-x4,AD=x2+x3,由题意得
x1*x2=2a,x3*x4=2b,
(x1-x4)*(x2+x3)=2c,即x1*x3-x2*x4=2（b+c-a),
又x1*x3*x2*x4=4ab
代入x2*x4=x1*x3-2(b+c-a)得关于x1*x3的一元二次方程，即
(x1*x3)^2-2(b+c-a)x1*x3-4ab=0
解之得x1*x3=(b+c-a)+√[(b+c-a)^2+4ab]
又S矩形=x1*(x2+x3)=x1*x2+x1*x3=2a+(b+c-a)+√[(b+c-a)^2+4ab]
=(a+b+c)+√[(b+c-a)^2+4ab]
∴S△AEF=S矩形-S△ABE-S△CEF-S△ADF
=(a+b+c)+√[(b+c-a)^2+4ab]-a-b-c
=√[(b+c-a)^2+4ab]
楼上是解析法，我用了代数法，当然化简结果一样。
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代数法解答方案：
设矩形ABCD，宽CD=k,F点分宽DF=λk, FC=(1-λ)k
设高BC=h,E点分高BE=μh, EC=(1-μ)h
则a=(μhk)/2, b=[(1-λ)(1-μ)hk]/2, c=(λkh)/2
a+b+c=[(μ+λ)hk)]/2+[(1-(λ+μ)+λμ)hk]/2=[(1+λμ)hk]/2
S(⊿AFE)=hk-[(1+...
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代数法解答方案：
设矩形ABCD，宽CD=k,F点分宽DF=λk, FC=(1-λ)k
设高BC=h,E点分高BE=μh, EC=(1-μ)h
则a=(μhk)/2, b=[(1-λ)(1-μ)hk]/2, c=(λkh)/2
a+b+c=[(μ+λ)hk)]/2+[(1-(λ+μ)+λμ)hk]/2=[(1+λμ)hk]/2
S(⊿AFE)=hk-[(1+λμ)hk]/2=[2hk-(1+λμ)hk]/2=[(1-λμ)hk]/2
=a+b+c-λμhk
λμhk=(4ac)/(hk)
S=a+b+c-(4ac)/(hk) =a+b+c-(4ac)/(a+b+c+S)
解得S(⊿AFE)=根号下[(a+b+c)^2-4ac]
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