高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/04 04:44:07
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
大家的解法都很好,但也太烦了.
设抛物线上关于直线L:x+y=0对称的两相异点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),则线段PQ的中点为M(x0,y0),因为PQ与L垂直,L的斜率为-1,所以PQ的斜率为1
可设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,
所以方程组 y=x+b与y=ax2-1
有两组不同的实数解,
即得方程ax2-x-(1+b)=0.有两组不同的实数解
即△=1+4a(1+b)>0.①
由中点坐标公式可得,
x0=(x1+x2) /2=1/(2a)
y0=x0+b=1 /(2a)+b
∵M在直线L上,∴x0+y0=1/(2a)+1 /(2a)+b=0
即b=-1/a
代入①1+4a(1+b)>0得1+4a(1-1/a)>0解得a>3/4
故实数a的取值范围(3/4,+∞)
本来还想叽里呱啦和楼主讲几何方法的,后来觉得代数方法简单,就复制黏贴过来给你了。
首先,设两对称点为A(m, n), B(-n, -m), m ≠ -n
am² - 1 = n (1)
a(-n)² - 1 = -m, an² - 1 = -m (2)...
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本来还想叽里呱啦和楼主讲几何方法的,后来觉得代数方法简单,就复制黏贴过来给你了。
首先,设两对称点为A(m, n), B(-n, -m), m ≠ -n
am² - 1 = n (1)
a(-n)² - 1 = -m, an² - 1 = -m (2)
(1)-(2): a(m+n)(m-n) = m+n
a = 1/(m - n)
即如果对称点存在,总可以找出它们,只要满足a = 1/(m-n)即可。
显然,要使对称点存在,二者须有交点: y = ax² - 1 = -x
ax² +x - 1 = 0
∆ = 1 + 4a > 0
a > -1/4 (但不为0)
看了下楼下,第八行似乎应该等于1/a?直线距离公式似乎错了?
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设在抛物线上关于l对称的点为X1(x1,ax1^2-1),X2(x2,ax2^2-1)
若两直线垂直,则斜率乘积为:-1
所以直线X1X2的斜率为:+1
即:a(x2^2-x1^2)/(x2-x1)=1
因为X1,X2不重合,所以x2-x1不等于0
即a(x1+x2)=1...........................(1)
因为抛...
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设在抛物线上关于l对称的点为X1(x1,ax1^2-1),X2(x2,ax2^2-1)
若两直线垂直,则斜率乘积为:-1
所以直线X1X2的斜率为:+1
即:a(x2^2-x1^2)/(x2-x1)=1
因为X1,X2不重合,所以x2-x1不等于0
即a(x1+x2)=1...........................(1)
因为抛物线y=ax^2-1,所以a不等于0
即x1+x2=-1/a
根据两点到直线距离相等
|x1-ax1^2+1|=|x2-ax2^2+1|
若同号,则x1-ax1^2=x2-ax2^2
即a(x1+x2)=1,与(1)式矛盾,a无解
若异号,则-x1+ax1^2-1=x2-ax2^2+1
即x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
联立方程组
x1+x2=-1/a
x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
解得,x1=(-1+根号(4a-3)/2a),x2=(-1-根号(4a-3)/2a)
因为x1不等于x2,即4a-3>0
所以a>3/4
综上所述,a>3/4
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