高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/08 17:47:31
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
高中数学 抛物线y=ax∧2-1上总有关于直线x+y=0对称的两点,求a的取值范围?求详解
大家的解法都很好,但也太烦了.
设抛物线上关于直线L：x+y=0对称的两相异点为P（x1,y1）、Q（x2,y2）,则线段PQ的中点为M（x0,y0）,因为PQ与L垂直,L的斜率为-1,所以PQ的斜率为1
可设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,
所以方程组 y=x+b与y=ax2-1
有两组不同的实数解,
即得方程ax2-x-（1+b）=0．有两组不同的实数解
即△=1+4a（1+b）＞0．①
由中点坐标公式可得,
x0=(x1+x2) /2=1/(2a)
y0=x0+b=1 /(2a)+b
∵M在直线L上,∴x0+y0=1/(2a)+1 /(2a)+b=0
即b=-1/a
代入①1+4a（1+b）＞0得1+4a（1-1/a）＞0解得a＞3/4
故实数a的取值范围（3/4,+∞)
本来还想叽里呱啦和楼主讲几何方法的，后来觉得代数方法简单，就复制黏贴过来给你了。
首先，设两对称点为A(m, n), B(-n, -m), m ≠ -n
am² - 1 = n (1)
a(-n)² - 1 = -m, an² - 1 = -m (2)...
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本来还想叽里呱啦和楼主讲几何方法的，后来觉得代数方法简单，就复制黏贴过来给你了。
首先，设两对称点为A(m, n), B(-n, -m), m ≠ -n
am² - 1 = n (1)
a(-n)² - 1 = -m, an² - 1 = -m (2)
(1)-(2): a(m+n)(m-n) = m+n
a = 1/(m - n)
即如果对称点存在，总可以找出它们，只要满足a = 1/(m-n)即可。
显然，要使对称点存在，二者须有交点: y = ax² - 1 = -x
ax² +x - 1 = 0
∆ = 1 + 4a > 0
a > -1/4 (但不为0)
看了下楼下，第八行似乎应该等于1/a？直线距离公式似乎错了？
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设在抛物线上关于l对称的点为X1(x1,ax1^2-1),X2(x2,ax2^2-1)
若两直线垂直,则斜率乘积为:-1
所以直线X1X2的斜率为:+1
即:a(x2^2-x1^2）/(x2-x1)=1
因为X1，X2不重合，所以x2-x1不等于0
即a（x1+x2）=1...........................(1)
因为抛...
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设在抛物线上关于l对称的点为X1(x1,ax1^2-1),X2(x2,ax2^2-1)
若两直线垂直,则斜率乘积为:-1
所以直线X1X2的斜率为:+1
即:a(x2^2-x1^2）/(x2-x1)=1
因为X1，X2不重合，所以x2-x1不等于0
即a（x1+x2）=1...........................(1)
因为抛物线y=ax^2-1，所以a不等于0
即x1+x2=-1/a
根据两点到直线距离相等
|x1-ax1^2+1|=|x2-ax2^2+1|
若同号,则x1-ax1^2=x2-ax2^2
即a(x1+x2)=1,与（1）式矛盾，a无解
若异号，则-x1+ax1^2-1=x2-ax2^2+1
即x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
联立方程组
x1+x2=-1/a
x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
解得，x1=(-1+根号(4a-3)/2a),x2=(-1-根号(4a-3)/2a)
因为x1不等于x2,即4a-3>0
所以a>3/4
综上所述,a>3/4
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