极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?证明y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:12:09
极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?证明y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-
极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?
证明y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β).
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x
中间在limβ→0时(1+β)^1/β=e,百思不得其姐啊!
极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?证明y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-
1、我们是将这个极限最终所趋向的那个数称为e ,也就是取名为e,而不是它趋向于e；
2、楼主上面的推导过程,为什么不一步到位取自然对数呢?为什么先取a为底的对数,
再迂回到将a为底的对数转化为自然对数,为什么这样?是你自己的解法?还是你
的老师给的方法呢?如果是老师给的,那问题就严重了.因为e^x跟lnx的出现,使
得微积分很多运算成为可能,使得复变函数、三角函数、求导、积分、、、变得
极为简单,如果你的老师仍然是喜欢常用对数,说明他的微积分功底很成问题.这
就如同一个教师热衷于角度制,而不是本能的喜欢弧度制,那他的微积分一定学得
一塌糊涂.
3、下面的图片说明e的来源与e的特点：
认认真真解答题目,很费时费神,请谅解.