为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?疑惑~f（x）=f（x0）+f`(x0)f(x-x0).
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:20:21
为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?疑惑~f（x）=f（x0）+f`(x0)f(x-x0).
为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?
疑惑~
f（x）=f（x0）+f`(x0)f(x-x0).
为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?疑惑~f（x）=f（x0）+f`(x0)f(x-x0).
首先我们来看近似计算公式
f(x)-f(x0)=f'(x0)(x-x0)+ο(x-x0）（x→x0)
当f(x0)≠0时,f'(x0)(x-x0)是f(x)-f(x0)的主部,但当f(x0)=0时,f'(x0)(x-x0)的主部就不能直接确定.于是就引进泰勒公式f(x)-f(x0)
用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数,从而可以进行近似计算,也可以计算极限值
可见泰勒公式主要是为解决无穷量问题
而x-x0在x→x0为无穷小量,泰勒级数要在x0处展开成幂级数,是为了构造无穷小量（x-x0）,从而确定f(x)-f(x0)在f(x0)=0时的主部
泰勒公式在x=x0处展开为
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(1/2!)f''(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f(n)(x0)(x-x0)^n+…
泰勒公式在x=a处展开为
下面证明,为了方便表示幂,我这儿改x0为a
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+…①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数,得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+…②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导,得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+…
令x=a,得a2=f''(a)/2!
……
……
同理可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+…+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+…
替换a与x0得：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(1/2!)f''(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f(n)(x0)(x-x0)^n+…
注意：故解决无穷量问题,级数问题时为什么泰勒级数要在x0处展开成幂级数.解决其他问题并不一定要从x0处展开.如当做拉格朗日微分中值定理使用.
泰勒级数可以把函数展开成多项式，可以是x-a的多项式，也可以是x的多项式(此时a=0，所谓马克劳林公式)
这要根据需要决定。
X0可以是任意值啊,这是泰勒级数的一般式,
当X0=0时,叫做麦克劳林级数,这是比较常用的级数展开式.