有一块半径为R的半圆形钢板计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,且底CD的端点在圆周上设∠DAB=θ,写出这个梯形周长y和θ间的函数关系,并求定义域、最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 18:53:59
有一块半径为R的半圆形钢板计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,且底CD的端点在圆周上设∠DAB=θ,写出这个梯形周长y和θ间的函数关系,并求定义域、最大值
有一块半径为R的半圆形钢板计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,且底CD的端点在圆周上
设∠DAB=θ,写出这个梯形周长y和θ间的函数关系,并求定义域、最大值
有一块半径为R的半圆形钢板计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,且底CD的端点在圆周上设∠DAB=θ,写出这个梯形周长y和θ间的函数关系,并求定义域、最大值
^2是平方
联结BD,则∠ADB是直径AB所对的圆周角,所以∠ADB=90°
则在Rt△ABD中,∠ADB=90°,有AD/AB=cos∠DAB
所以AD=AB*cos∠DAB=2Rcosθ,则BC=AD=2Rcosθ
过D作DE⊥AB于E,则在Rt△ADE中,∠AED=90°
有AE/AD=cos∠DAE,所以AE=AD*cos∠DAE=2Rcosθ*cosθ=2R(cosθ)^2
过C作CF⊥AB于F,则在Rt△CBF中,∠CFB=90°,∠CBF=∠DAE=θ
有BF/BC=cos∠CBF,所以BF=BC*cos∠DAE=2Rcosθ*cosθ=2R(cosθ)^2
所以EF=AB-AE-BF=2R-2R(cosθ)^2-2R(cosθ)^2=2R-4R(cosθ)^2
由DE⊥AB于E,CF⊥AB于F得DE∥CF,又CD∥EF,所以四边形CDEF是平行四边形
则CD=EF=2R-4R(cosθ)^2
由于AB=2R,AD=BC=2Rcosθ,CD=2R-4R(cosθ)^2
所以y=AB+BC+CD+DA=2R+2Rcosθ+2R-4R(cosθ)^2+2Rcosθ=4R+4Rcosθ-4R(cosθ)^2
由于在梯形ABCD中,CD<AB,所以θ=∠DAB<π/2
考虑极端情况：C'、D'重合
此时∠AD'B是直径AB所对的圆周角,所以∠AD'B=90°
而AD'=BC',所以△AD'B是等腰直角三角形,θ'=∠D'AB=45°
而四边形ABCD是梯形,所以∠DAB>∠D'AB,即θ>θ'=45°,即θ>π/4
所以θ∈(π/4,π/2)
则解析式为y=4R+4Rcosθ-4R(cosθ)^2,θ∈(π/4,π/2)
记f(θ)=4R+4Rcosθ-4R(cosθ)^2=4R(1+cosθ-(cosθ)^2)=-4R(cosθ-1/2)^2+5R
由θ∈(π/4,π/2)得cosθ∈(0,√2/2)
所以当cosθ=1/2,即θ=π/3时,f有最大值,f=5R
总结一下,解析式为y=4R+4Rcosθ-4R(cosθ)^2,θ∈(π/4,π/2)
当θ=π/3时,最大值为5R