复变函数（2-2i）的三分之一次方怎么解?急
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 08:51:34
复变函数（2-2i）的三分之一次方怎么解?急
复变函数（2-2i）的三分之一次方怎么解?急
复变函数（2-2i）的三分之一次方怎么解?急
根据de Moivre公式,如果复数z = r (cosx + isinx ),那么
z^(1/n) = r^(1/n) [ cos( (x+2kπ)/n ) + i sin( (x+2kπ)/n ) ],k = 0,1,2,...,n-1.
这里r = 2sqrt(2),x = -π/4,n = 3,代入即可求出以下三个立方根：
k = 0,(2sqrt(2))^(1/3) [ cos (π/12) - i sin (π/12) ],
cos (π/12) = cos (15) = cos (45-30) = sqrt(2)/2 (sqrt(3)/2 + 1/2) = [sqrt(6) + sqrt(2)]/4；
sin (π/12) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4.于是第一个根为：
(2sqrt(2))^(1/3) { [sqrt(6) + sqrt(2)]/4 - i [sqrt(6) - sqrt(2)]/4 }；
同理,代入k = 1,得到角度为105度,于是
cos (105) = cos (60+45) = -sin (60+45-90) = - [sqrt(6) - sqrt(2)]/4；
sin (105) = [sqrt(6) + sqrt(2)]/4.于是第二根为：
(2sqrt(2))^(1/3) { - [sqrt(6) - sqrt(2)]/4 + i [sqrt(6) + sqrt(2)]/4 }；
代入k=2,得到角度为225度,于是
cos (225) = cos (180 + 45) = - cos (45) = -sqrt(2)/2,
sin (225) = - sqrt(2)/2,于是第三个根为：
- (2sqrt(2))^(1/3) ( sqrt(2)/2 (1+i ) )
以上三个根我用Matlab计算验证过,没错.
2-2i=2√2(cos3π/4+isin3π/4)
所以=(2√2)的立方根*{cos[(2kπ+3π/4)/3]+isin[(2kπ+3π/4)/3]}
k=0，1，2