已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2分之1.如题
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:27:39
已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2分之1.如题
已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2分之1.
如题
已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2分之1.如题
因为f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=2 再利用反证法,假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2 则有2=|f(1)+f(3)-2f(2)|<=|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<2(利用绝对值不等式),这与题意相矛盾,故假设不成立,所以|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,
则,-1/2
用反证法:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|均小于1/2
即 |1+p+q|<1/2 ; |4+2p+q|<1/2 ; |9+3p+q|<1/2
∴-1/2<1+p+q<1/2 (1)
-1/2<4+2p+q<1/2 (2)
-1/2<9+3p+q<1/2 (3)
(1)+(3): -1<10+4p+2q<1 <...
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用反证法:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|均小于1/2
即 |1+p+q|<1/2 ; |4+2p+q|<1/2 ; |9+3p+q|<1/2
∴-1/2<1+p+q<1/2 (1)
-1/2<4+2p+q<1/2 (2)
-1/2<9+3p+q<1/2 (3)
(1)+(3): -1<10+4p+2q<1
-3<8+4p+2q<-1
-3/2<4+2p+q<-1/2
与(2)矛盾,所以假设不成立
∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2分之1.
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