如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE

如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE
如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE

如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE
分析：1、通过读题,已知条件可分为四类：①垂直,BH⊥BE,AE⊥EF；②相等线段,BH＝BE,AB＝BC＝CD＝DA；③角,∠BEH＝45°,∠DCF＝∠ECF＝45°；④平行,AB‖CD,AD‖BC.要求的是AE与EF的数量关系.
2、AE和EF看上去好像是相等,要说明这两条线段相等,可用的方法很多,通过分析图形,首先应考虑三角形全等,且最好是△HAE≌△CEF.已知条件中垂直关系和平行关系都可以转化为与角相关的条件,也就是说已知条件可以分为两大类：角的关系和边的关系,这正是证明三角形全等所需要的.解法确定：利用三角形全等证明对应边AE＝EF.
3、解答过程的关键步骤是△HAE≌△CEF,这两个三角形全等所需要的条件是：∠AHE＝∠ECF＝45°,AH＝CE,∠HAE＝∠CEF.按顺序把每一步的条件、结论清楚地写出来就可以了.
4、本题还可通过“角角边”证明△HAE≌△CEF,但相对复杂一些.

（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=1 2 ∠DCE=1 2 ×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形
（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，...

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（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=1 2 ∠DCE=1 2 ×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形
（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6

收起

dasd

　　如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．　 AE=EF．
　　理由如下：
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
　　又∵EF⊥AE，
　　∴∠A...

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　　如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．　 AE=EF．
　　理由如下：
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
　　又∵EF⊥AE，
　　∴∠AEF=90°，
　　∵AD∥BC
　　∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
　　∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
　　又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
　　∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
　　又∵CF平分∠DCE，
　　∴∠FCE=45°=∠EHA，
　　在△HAE和△CEF中
　　∠EHA=∠FCE AH=EC ∠HAE=∠CEF
　　∴△HAE≌△CEF（ASA），
　　∴AE=EF．

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AE=EF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC； 又∵BH=BE， ∴AH=CE； ∵△BHE是等腰直角三角形， ∴∠H=45°； 又∵CF平分∠DCE， ∴∠FCE=∠H=45°； ∵AE⊥EF，∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠FEM=90°，即∠BAE=∠FEM； ∴∠FEC=∠HAE； ∵∠H=∠FCE，AH=CE，∠HAE=∠FEC， ∴△HAE≌△...

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AE=EF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC； 又∵BH=BE， ∴AH=CE； ∵△BHE是等腰直角三角形， ∴∠H=45°； 又∵CF平分∠DCE， ∴∠FCE=∠H=45°； ∵AE⊥EF，∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠FEM=90°，即∠BAE=∠FEM； ∴∠FEC=∠HAE； ∵∠H=∠FCE，AH=CE，∠HAE=∠FEC， ∴△HAE≌△CEF；（ASA） ∴AE=EF．

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等...

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF​
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．
（1）求证：∠DAE=∠BEA；
（2）探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．
考点：正方形的性质；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．

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如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．
（1）求证：∠DAE=∠BEA；
（2）探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．
考点：正方形的性质；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据正方形的性质得出AD∥BE，根据平行线的性质即可得到答案；（2）AE=EF．根据正方形的性质推出AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，推出∠HAE=∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH=BE，∠H=45°，HA=BC，根据CF平分∠DCE推出∠AHE=∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA；
（2）答：AE=EF．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
又∵∠DAE=∠BEA（已证），
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠EHA=45°，∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=12×90°=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中
∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等...

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA
在△HAE和△CEF中
∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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因为△HBE为等腰直角三角形【已知一个角为45°】
所以，∠H=45°
已知CF为∠DCE平分线，所以∠ECF=45°
则，∠H=∠EDF……………………………………………………（1）
因为△HBE为等腰直角三角形，所以：BH=BE
而四边形ABCD为正方形，所以：BA=BC
所以：BH-BA=BE-BC
即，HA=EC…………...

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因为△HBE为等腰直角三角形【已知一个角为45°】
所以，∠H=45°
已知CF为∠DCE平分线，所以∠ECF=45°
则，∠H=∠EDF……………………………………………………（1）
因为△HBE为等腰直角三角形，所以：BH=BE
而四边形ABCD为正方形，所以：BA=BC
所以：BH-BA=BE-BC
即，HA=EC…………………………………………………………（2）
因为AD//BE
所以，∠DAE=∠CEA
已知FE⊥AE，所以∠FEA=90°
而∠DAH=90°
所以，∠DAE+∠DAH=∠CEA+∠FEA
即，∠HAE=∠CEF…………………………………………………（3）
由(1)(2)(3)知，△HAE≌△CEF（ASA）
所以，AE=EF
又，AE⊥EF

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问题是什么？？