如图一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于E点.试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.

如图一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于E点.试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.
如图一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于E点.试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.

如图一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于E点.试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.
AE=EF
因为角H=角HEB=45°,BH=BE.
又因为CE平分角DCE,四边形ABCD为正方形,
∴角FCE=½∠DCE=45°,∴∠H=∠FCE.
有正方形ABCD知,∠B=90°,∴∠HAE=90°+∠AEB.而AE⊥EF,∴∠FEC=90°+∠AEB,
∴∠HAE=∠FEC.
有正方形ABCD知,AB=BC,∴BH-AB=BE-BC.
∴AH=CE,∴△AHE≌△ECF.(ASA),∴AE=AF. 我昨天也刚做出了这道题,真巧啊.

这是菁优往上的题，难点的就VIP 擦

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-B...

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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF​
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-B...

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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF​
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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分析：1、通过读题，已知条件可分为四类：①垂直，BH⊥BE，AE⊥EF；②相等线段，BH＝BE，AB＝BC＝CD＝DA；③角，∠BEH＝45°，∠DCF＝∠ECF＝45°；④平行，AB‖CD，AD‖BC。要求的是AE与EF的数量关系。
2、AE和EF看上去好像是相等，要说明这两条线段相等，可用的方法很多，通过分析图形，首先应考虑三角形全等，且最好是△HAE≌△CEF。已知条件中垂直关系和平...

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分析：1、通过读题，已知条件可分为四类：①垂直，BH⊥BE，AE⊥EF；②相等线段，BH＝BE，AB＝BC＝CD＝DA；③角，∠BEH＝45°，∠DCF＝∠ECF＝45°；④平行，AB‖CD，AD‖BC。要求的是AE与EF的数量关系。
2、AE和EF看上去好像是相等，要说明这两条线段相等，可用的方法很多，通过分析图形，首先应考虑三角形全等，且最好是△HAE≌△CEF。已知条件中垂直关系和平行关系都可以转化为与角相关的条件，也就是说已知条件可以分为两大类：角的关系和边的关系，这正是证明三角形全等所需要的。解法确定：利用三角形全等证明对应边AE＝EF。
3、解答过程的关键步骤是△HAE≌△CEF，这两个三角形全等所需要的条件是：∠AHE＝∠ECF＝45°，AH＝CE，∠HAE＝∠CEF。按顺序把每一步的条件、结论清楚地写出来就可以了。
4、本题还可通过“角角边”证明△HAE≌△CEF，但相对复杂一些。

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC ...

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线段AE与EF的数量关系为：AE=EF．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA
在△HAE和△CEF中
∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．

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证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴AD∥BE，（正方形对应边平行） ∴∠DAE=∠BEA（内错角相等） ∴AD=AB=BC=DC (正方形四边相等) ∴∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°（正方形四个角都是直角） ∵一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合（已知） ∴△HBE是等边直角三角形 (已知) ∴BH=BE ∠H=45°(等腰直三角形定理...

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证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴AD∥BE，（正方形对应边平行） ∴∠DAE=∠BEA（内错角相等） ∴AD=AB=BC=DC (正方形四边相等) ∴∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°（正方形四个角都是直角） ∵一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合（已知） ∴△HBE是等边直角三角形 (已知) ∴BH=BE ∠H=45°(等腰直三角形定理) ∴ BH-BA=BE-BC ∴HA=CE（等量减等量） ∵CF平分∠DCE°（已知）∠DCE=90°（已求） ∴∠FCE=45° ∵EF⊥AE（已知） ∴∠AEF=90° ∵∠HAE=∠HAD+∠DAE=90°+∠DAE ∠CEF=∠AEF+∠BEA=90°+∠BEA ∴∠HAE=∠CEF（等量加等量） ∴△HAE≌△CEF（ASA）， ∴AE=EF 相信我吧 没有错

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1.∠H=45°，又∵CF平分∠DCE,∴∠FCE=45°=∠H

2 ∵直角等腰三角板，∴BH=BE

∵AB=BC

∴AH=CE

3.这步提示错了，应该是∠FEC=∠EAH

在E的右边取一点P，则∠FEC的补角为∠FEP

∵∠FEA=90°，所以∠AEC+∠FEP=90
...

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1.∠H=45°，又∵CF平分∠DCE,∴∠FCE=45°=∠H

2 ∵直角等腰三角板，∴BH=BE

∵AB=BC

∴AH=CE

3.这步提示错了，应该是∠FEC=∠EAH

在E的右边取一点P，则∠FEC的补角为∠FEP

∵∠FEA=90°，所以∠AEC+∠FEP=90

∠ABC=90，所以∠AEC+∠BAE=90

∴∠FEP=∠BAE

∠BAE+∠EAH=180 ∠FEP+∠FEC=180

∴∠FEC=∠EAH

所以三角形

得证AE=EF

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sadas

1.∠H=45°，又∵CF平分∠DCE,∴∠FCE=45°=∠H
2 ∵直角等腰三角板，∴BH=BE
∵AB=BC
∴AH=CE
3.这步提示错了，应该是∠FEC=∠EAH
在E的右边取一点P，则∠FEC的补角为∠FEP
∵∠FEA=90°，所以∠AEC+∠FEP=90
∠ABC=90，所以∠AEC+∠BAE=90
∴∠F...

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1.∠H=45°，又∵CF平分∠DCE,∴∠FCE=45°=∠H
2 ∵直角等腰三角板，∴BH=BE
∵AB=BC
∴AH=CE
3.这步提示错了，应该是∠FEC=∠EAH
在E的右边取一点P，则∠FEC的补角为∠FEP
∵∠FEA=90°，所以∠AEC+∠FEP=90
∠ABC=90，所以∠AEC+∠BAE=90
∴∠FEP=∠BAE
∠BAE+∠EAH=180 ∠FEP+∠FEC=180
∴∠FEC=∠EAH

所以三角形
得证AE=EF

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